Наив,

"Като се замисля за задачата с вписания правоъгълен триъгълник, мда, може и да са безкрайно много"

Помниш ли, какво е медиана в триъгълник? Отсечка, свързваща връх на триъгълника със средата на срещулежащата страна. Височината през същия този връх е не по-голяма от медианата. (Най-късо разстояние между две точки и пр.)

"Добре, де, така ли я решавате вие - че височината не може да е повече от половината от хипотенузата. Може би има такава теорема или това е просто задачка, която сега съобразявате?"

В правоъгълен триъгълник, медианата към хипотенузата е винаги половина от последната. (За това, всяка точка от окръжността, свързана с двата краища на диаметър, определя правоъгълен триъгълник.) Това е теорема в теорията на правоъгълните триъгълници и е упражнение в теорията на триъгълниците (в Евклидова равнина, разбира се).

Това решава задачата в случая за максимално лице на вписан правоъгълник. За вписан какъв-да-е четириъгълник, задачата е по-интересна и по-трудна (отговорът е същия). Може с аналитични методи да се реши (дълго и отблъскващо!), а може и с чисто геометрични методи (интелигентно, кратко и красиво).

Поздрави