|
Задачката се оказа интересна, и по пътя на решаването и се демонстрират куп други интересни проблеми, свързани със СТО и ускоряването на отправни системи, описано чрез нея.
Като начало, да формулираме по-точно някои детайли. Нека отправната система на Гошо да описваме с координати x,t , а отправната система S с координати x',t'. Движението на S "отляво надясно" в системата на земята ще бъде движение в посока нарастване на координтата Х (нормално тя се изобразява растяща надясно). Ще ползваме следните Лоренцови трансформации:
(1)
където
е Лоренцовият фактор.
Защо за тази задача ще използваме тази трансформация, а не примерно обратната:
(2)
Как става изборът на трансформация в зависимост от конкретната задача? Аз ползвам следното правило. Нека разгледаме движението на една фиксирана точка от системата S в системата на земята. За простота нека това е началото на координатната система, х'=0. Ако заместим това в първото уравнение на (1), ще получим:
x = v.t
т.е. уравнение описващо равномерно движение на някаква точка по посока нарастване на Х с времето, т.е. движение "отляво надясно", каквото имаме в условието. Ако ползвахме трансформациите (2), ще имаме уравнението x=-v.t, тоест отправната система S щеше да се движи отдясно наляво, в обратна посока. Така че изборът на (1) е коректен за тази задача.
Нека сега разгледаме следната подзадачка (подобна задачка вече съм развивал в различни вариаци, извинявам се за повторението).
Имаме пръчка неподвижна със земята, с дължина L. Нека за простота поставим пръчката така, че средата на пръчката да е в центъра на отправната система на земята (това само ще опрости сметките, и много излишни членове в последващата математическата галимация няма да бъдат извикани към живот да ни усложняват нашия). Координатите на краищата на пръчката в системата на земята ще бъдат (-L/2, L/2).
Нека сега в двата края на пръчката едновременно, в момент t=t0, се случат две събития. Какви ще са събитията за сега няма значение, интересуват ни координатите на тези събития в системата S. За целта значи трябва да преобразуваме чрез трансформациите (1) координатите на събитията (x1,t1)=(-L/2,t0) и (x2,t2)=(L/2,t0) в координати на S. Използваме (1) и получаваме:
Или за да си опростим още живота, нека считаме, че момента t0=0, т.е. събитията се случват в момента, в който началото на отправната система S съвпада с отправната система на земята. Тогава координатите на интересуващите ни събития случващи се в краищата на пръчката, в S ще бъдат:
Какви интересни работи можем да изстискаме от полученият резултат?
------------------------------------------------------------------------------------
Първото което забелязваме е, че двете събития се случват в различни моменти в системата S. Събитието в десният край се случва първо, още в момент
(3)
докато събитието свързано с левият край на пръчката се случва по-късно:
(4)
(отрицателните моменти са моментите преди избраният за начало на времевата скала момент t=0).
Имаше навремето тук един клубар, ШЩ, който упорито тълкуваше този резултат така: краищата на пръчката съществуват в различно време в системата S, което е безсмислено и показва глупостта на СТО... Как да му обясниш на такъв човек, че краищата си съществуват във всеки момент, а тази разлика е свързана със събития, от където и тръгнахме? Така и не успя да проумее за какво става дума. Както и да е.
Ако полученият резултат приложим към задачата с близнаците, виждаме, че наистина пръв ще придобие промяна на състоянието си в S близнакът Драган, а чак после Петкан. Но за това после.
Какво ще се случи сега с пръчката, ако едновременно ускорим всичките нейни части/точки с еднакво ускорение така, че те да се задвижат със скорост V по посока на движението на S (т.е. да станат неподвижни в нея)? Или другояче казано, нека събитията в краищата на пръчката бъдат свързани с прилагането на ускорение. Забележете, всички точки на пръчката се ускоряват едновременно и с еднакво ускорение. Величината на ускорението в случая считаме че няма значение, т.е. че не предизвиква допълнителни времеви промени, за това можем да анализираме и скокообразни промени, демек безкрайни .ускорения. Нека в случая ускорението да е такова, че моментално да ускори пръчката до скоростта на S.
Какво се случва в S?
От гледна точка на S, пръчката, заедно със земята, се движи спрямо нея. И се движи "отдясно наляво", т.е. по посока намаляването на координатата Х. Според сметките по-горе, десният край на пръчката пръв изпитва ускорението, и става неподвижен в S. Левият обаче продължава да се движи, и се отдалечава от десният, и според сметките по-горе той ще стане неподвижен в един по-късен момент. Просто казано, пръчката се разтяга в системата S.
Ние можем да разгледаме и малко по-сложната задача, с непрекъснато във времето ускорение. Тя се свежда до последователно минаване от система в система, в които пръчката ще бъде все по-разтегната и по-разтегната. Всъщност това е добре известният Парадокс на Бел (), ()
Така, с един елементарен ход, попътно така да се каже, разрешихме този сложен парадокс .
--------------------------------------------------------------------------------------
Причината за разтягането в системата S е ясна - силите, които ускоряват пръчката, в системата S не се прилагат едновременно.
Докато трае ускорението, пръчката в системата на Гошо има фиксирана дължина, L. Какво ще се случи с пръчката, след като краищата и са свободни и приключи ускорението? Разтегнатата пръчка в системата S ще се свие до нормалните си размери. Например, ако в системата на Гошо тя е била 1 метър дълга, в ситуацията когато е разтегната в S е станала 1.1 метра, след прекратяване на "разтеглянето" пръчката трябва да се върне до дължина 1 метър в S. Тук предполагаме идеален материал за пръчката, т.е. не се къса, не получава дислокации и т.н., един вид ластик, който след разтягане се оставя свободно.
Възстановената от "разтягането" пръчка ще бъде с по-малка дължина от разтегнатата - а това трябва да се отрази и в системата на Гошо, т.е. и в тази система пръчката (която вече се движи със скорост V спрямо земята) трябва да има по-малка дължина от началната си. Е, добрутро, открихме релативистското скъсяване, но по друг път :)
Доколко ще се разтегне пръчката в S? От сметките по-горе (разглеждаме частта за х'1,х'2) имаме:
или ако разпишем gama-та::
Изразяваме измеримият от Гошо размер:
Ако сега пръчката в S възстанови размера си, L'->L, то Гошо ще наблюдава скъсеният размер
Тоест движещата се пръчка в системата на Гошо се измерва като по-къса от оригиналната и дължина. Което е т.н. релативистско скъсяване.
-----------------------------------------------------------------------------------
И последно за сега разсъждение. Ако в краищата на пръчката имаме двама близнаци (или два синхронни и сверени часовника), какво се случва с тях след ускорението? Това е разсъждение в посока, какво се случва с неподвижните близнаци в S, ако се ускорят до някаква друга система?
Сметките за събитията, които направихме по-горе, са пряко приложими за тази оценка. Ние всъщност смятаме, какво се случва с два часовника, показващи едновременно t=0, ако се ускорят едновременно до S.
Десният часовник ще попадне в S (ще стане неподвижен в нея) в момент (3) и ще има показание 0, а левият - в момент (4) и също ще има показание 0. Но когато левият часовник стане неподвижен в S, десният ще се намира там отдавна и ще отброи интервал
Това е разликата която ще имат двата часовника, след като се установят в S неподвижни. Десният близнак ще бъде по-стар. Тоест, АКО близнаците едновременно се ускоряват от S в S' и ако S' се движеше надясно, то Драган ще бъде по-остарял от Петкан.
Само че в нашата задача не е точно така - в системата S двамата близнаци не се ускоряват едновременно, а и системата S' се движи наляво.
Е, продължението на решението следващият път. За сега доста странични проблеми избистрихме
Добре е късметът да ти се усмихва, но не е добре като почне да ти се хили!
|
Начален анализ [re: Герисъм]
