|
|
| Тема |
 Задачка-закачка + въпросче за любознателните... |
|
| Автор |
Nuke Dukem (good) |
|
| Публикувано | 03.11.18 23:54 |
|
|
|
Представете си 3 пресичащи се окръжности с радиус r, чиито центрове лежат върху върховете на равностранен триъгълник ABC:
Как бихме могли да изчислим площта S + S1 + S2 + S3 на този своеобразен "лотус"?
Естествено, S1 = S2 = S3, защото трите окръжности са еднакви, така че площта на "лотуса" е S + 3*S1.
Разбира се, площта S на е равна на утроения ABC минус удвоения триъгълник ABC.
Нека ние намерим тази площ S:
Площта на сектора ABC е точно 1/6 от площта на всеки един от дадените три кръга – (1/6)*pi*r^2. Утроеният сектор ABC е равен на (1/2)*pi*r^2.
Площта на равностранния триъгълник ABC е, естествено, (sqrt(3)/2)*r^2. Защо? Защото неговата площ е 1/2*о*в (о, основа, в, височина) и, тъй като от питагоровата теорема имаме в = sqrt(r^2 - ((1/2)*r)^2), а основата му е r, значи площта му е именно r*((sqrt3)/2)*r = (sqrt(3)/2)*r^2
Чудесно... Значи площта S на триъгълника на Ръльо е (1/2)*pi*r^2 - sqrt(3)*r^2 = (r^2)*((1/2)*pi - sqrt3)
S = (r^2)*((1/2)*pi - sqrt3)
Нека ние сега намерим площта S1. Тя, естествено, е равна на удвоения BD минус площта S на триъгълника на Ръльо. Сегментът BD е равен на ((r^2)/2)*((2/3)*pi - (sqrt3)/2). Удвоеният сегмент BD е равен на (r^2)*((2/3)*pi - (sqrt3)/2). Значи
S1 = (r^2)*((2/3)*pi - (sqrt3)/2) - (r^2)*((1/2)*pi - sqrt3) =
(r^2)*((2/3)*pi - (sqrt3)/2 - (1/2)*pi + sqrt3) =
(r^2)*((4/6)*pi - (3/6)*pi - (sqrt3)/2 + 2*(sqrt3)/2) =
(r^2)*((1/6)*pi + (sqrt3)/2)
S1 = (r^2)*((1/6)*pi + (sqrt3)/2)
Остана само да сметнем
S + 3*S1 = (r^2)*((1/2)*pi - sqrt3) + 3*(r^2)*((1/6)*pi + (sqrt3)/2) =
(r^2)*((1/2)*pi - sqrt3 + (1/2)*pi + 3*(sqrt3)/2) =
(r^2)*(pi - 2*(sqrt3)/2 + 3*(sqrt3)/2) =
(r^2)*(pi + (sqrt3)/2)
S + 3*S1 = (r^2)*(pi + (sqrt3)/2)
Например за радиус r = 12.89121799 площта S + S1 + S2 + S3 = 666.0000005
А сега въпросът – ако това бяха три пресичащи се сфери, каква фигура щеше да се получи от тяхното пресичане и колко щеше да бъде нейният обем?
| |
| |
| 
|
|
