|
Пардон, имах предвид, че е добре това, че твоята майка ти е забранила да биеш докато лъжеш, защото, не само че късите крака на лъжата я правят грозна, но и също така, ако биеш докато лъжеш, това би могло да те вкара в затвор.
В отговор на:
Шансът за всеки един поотделно да намери своя номер е 0.5, значи шансът всички да намерят своя номер ще е 0.5^100.
Това е за стратегията, при която всеки затворник отваря произволно чекмедже и шансът на нейната успеваемост за 100 затворника е
0.00000000000000000000000000008%
Встрани от шегите, тази задача е жив ад и аз снощи сънувах кошмари, поради което тази сутрин гледах филмчета и четох нейното решение в уикипедията, след което не издържах и сега ще се опитам да я разплета с така наречения brute force метод...
Нека приемем за по-просто, че затворниците са били само 4-ма – 1, 2, 3 и 4 – и им се позволява да отворят само две от четирите номерирани чекмеджета.
Ако всеки затворник избира произволно чекмеджетата, шансът да открие своя номер в своето първо отваряне е 1/4, а на второ отваряне, пак 1/4 – значи общо 1/2. Шансът всички четири затворника да открият своя номер след 2 отваряния на чекмеджета е (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)^4.
Тоест шансът да оцелеят при стратегия "избери произволно чекмедже" е 1/16 или 6.25%
Нека сега изчислим шанса за затворническото оцеляване в случаят, при който, ако вместо да отварят чекмеджетата на произволен принцип, решат да приложат стратегията "избери чекмедже с твоя номер и, ако е необходимо, продължи с чекмедже, чиито номер е съдържанието на предишното отворено чекмедже".
За съдържанието на четирите чекмеджетата имаме общо 4!=1*2*3*4=24 пермутации:
1234
1243
1342
1324
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321
Затворник №1 намира своя номер в 6/24 случая при първо отваряне (първите 6 от посочените по-горе пермутации; онези, които започват с 1), и в още 6/24 случая при второ отваряне (пермутациите 2134, 2143, 3214, 3412, 4231 и 4321), тоест шансът той да открие своя номер спазвайки такава стратегия е 12/24 или 1/2.
Затворник №2 намира своя номер в 6/24 случая при първо отваряне (пермутациите 1234, 1243, 3214, 3241, 4213 и 4231 ) и в още 6/24 случая при второ отваряне (пермутациите 1324, 1432, 2134, 2143, 3412 и 4321), тоест шансът той да открие своя номер спазвайки такава стратегия е 12/24, тоест шансът той да открие своя номер спазвайки такава стратегия е 12/24 или 1/2.
Затворник №3 намира своя номер в 6/24 случая при първо отваряне (пермутациите 1234, 1432, 2134, 2431, 4132 и 4231), и в още 6/24 случая при второ отваряне (пермутациите 1243, 1324, 2143, 3214, 3412 и 4321), тоест шансът той да открие своя номер спазвайки такава стратегия е 12/24 или 1/2.
Затворник №4 намира своя номер в 6/24 случая при първо отваряне (пермутациите 1234, 1324, 2134, 2314, 3124 и 3214), и в още 6/24 случая при второ отваряне (пермутациите 1243, 1432, 2143, 3412, 4231 и 4321), тоест шансът той да открие своя номер спазвайки такава стратегия е 12/24 или 1/2.
С други думи, шансът всичките четири затворника да открият своя номер по тази стратегия е (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)^4 = 1/16 или 6.25%.
Значи шансът да оцелеят при стратегия "избери чекмедже с твоя номер и, ако е необходимо, продължи с чекмедже с номер съдържанието на предишното отворено", е 1/16 или 6.25%.
Обаче според , шансът да оцелеят при последната посочена стратегия би трябвало да е:
1 - (1/4!)*(4!/3 + 4!/4) = 1 - (1/24)*(24/3 + 24/4) = 1 - (1/24)*(8 + 6) = 1 - (1/24)*14 = 1 - 14/24 = 24/24 - 14/24 = 10/24 = 41.666(6)%
Същото се потвърждава и в , според което по формулата, шансът за оцеляване се оценява на:
1 - (1/4!)*(4!/3 + 4!/4) = 1 - (1/3 + 1/4) = 1 - (8/24 + 6/24) = 1 - 14/24 = 24/24 - 14/24 = 10/24 = 41.666(6)%
Защо, когато взема предвид всички пермутации, според моите изчисления шансът възлиза на (1/2)^4 = 6.125%, а според формулата излиза 41.666(6)%? Къде греша?
Впрочем за 100 затворника формулата дава шанс 0.31183 или 31.183%
Не вярвам, че в тези цитати шансът е изчислен грешно, но аз разгледах всички възможни пермутации за 4 затворника, разгледах ли?
Още веднъж – къде съм грешен в моите разсъждения?
|
Re: Отхвърлянето 2 [re: ad miral]
