Зависи какво ще пожелаят наследниците. Ако желаят фирмата на ЕТ да се "закрие" ще трябва да предприемат стъпки за заличаване в ТР. (чл. 60а т.2 ТЗ)
Ако желаят един от тях да продължи дейността - чл. 60 ал.2 ТЗ:

Чл. 60. (1) Фирмата на едноличния търговец може да бъде прехвърлена на трето лице само заедно с предприятието му. Съгласието за прехвърлянето на фирмата трябва да бъде дадено съобразно чл. 15, ал. 1.
(2) Наследниците на едноличния търговец, които поемат предприятието, могат да запазят неговата фирма.
(3) В случаите по предходните алинеи към фирмата трябва да се добави името на новия собственик.
(4) Прехвърлянето се вписва в търговския регистър и се обнародва в "Държавен вестник".
Заличаване от регистъра
Чл. 60а. (Нов - ДВ, бр. 84 от 2000 г.) Вписването на едноличния търговец се заличава от търговския регистър:
1. при прекратяване на дейността му или при установяване на местожителството му в чужбина - по негова писмена молба до съда;
2. при смъртта му - по писмена молба на наследниците;
3. при поставянето му под запрещение - по писмена молба на настойника или попечителя.