В равнината Хаусдорф е доказал, че са необходими изброимо много парчета и с краен брой не става. Причината, е че групите в измерения 3 и нагоре имат като подгрупа свободна група в/у 2 генератора. Това е "причината" за парадоксалността. Доколкото разбирам ако се включат трансформациите, които запазват лицето, то има такъв парадокс и в равнината. Това е резултат на фон Нойман.

Ето малко повече по въпроса, дори скица на д-то на парадокса Банах и Тарски.
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

Едно време това ми беше интересно и намерих в библиотеката една книжка по темата от Oxford Uni Press ( ili Cambridge Uni Press), която, доколкото си спомням, се казваше "The Banach Tarski Paradox" Дава доста информация повъпроса и поне в началото е доста достъпна. (Бях в първия месец на grad school). После се заби в логика и алгебра, които не можех да смеля. Може да я потърсиш.