|
Ще си позволя да обобщя задачата за седмоъгълника.
Пуловете не могат да се разположат по искания начин по върховете на никакъв друг правилен многоъгълник, освен на такъв с 3, 4, 6 или 8 върха.
Доказателство:
Да номерираме върховете поред с числата
-k, -k+1, ..., -1, 0, 1, ..., k-1, k, ако броят на върховете е нечетен (2k+1) или
p, -k+1, ..., -1, 0, 1, ..., k-1, ако броят на върховете е четен (2k). Тогава p и 0 са срещулежащи.
За по-нагледно вместо бели и черни пулове ще отбелязвам съответните номера с червен и зелен цвят, а черният ще означава, че цветът на пула още не е определен. Ще записвам равнобедрените триъгълници (РБТ) с номерата на трите им върха, като средният ще е този, който е равноотдалечен от другите два.
Решения за 3, 4, 6 и 8-ъгълниците:
3: -1,0,1
4: p,-1,0,1
6: p,-2,-1,0,1,2
8: p,-3,-2,-1,0,1,2,3
Доказателството, че няма решения за други многоъгълници, се прави с допускане на противното:
Доказателство за многоъгълниците с нечетен брой върхове (>3) е дадено от Недев . Аз бях измислил друго, но е по-дълго и няма да го пиша. Само ще обобщя за 2k+1 върха (k>1):
Поради нечетния брой върхове, има поне една двойка съседни с еднакъв цвят. Нека те са 0,1.
РБТ -1,0,1 ==> -1
РБТ 0,1,2 ==> 2
РБТ 0,-k,1 ==> -k
!!! РБТ -1,-k,2
Доказателство за многоъгълниците с четен брой върхове (>8):
Нека 0. Тогава заради РБТ -1,0,1 върховете -1 и 1 не са едновременно червени. Има 2 принципно различни възможности:
1) -1,0,1
РБТ -3,-1,1 ==> -3
РБТ -1,1,3 ==> 3
!!! РБТ -3,0,3
2) -1,0,1
РБТ 0,1,2 ==> 2
РБТ -4,-1,2 ==> -4
РБТ -4,-2,0 ==>-2
РБТ -3,-2,-1 ==> -3
РБТ -3,0,3 ==> 3
РБТ 2,3,4 ==> 4
!!! РБТ -4,0,4
Q.E.D.
Съжалявам, ако някой чете на черно-бял монитор, защото нищо няма да разбере.
|
Re: графове (и графини) [re: Пaлячo]
