Otnosno vyprosa ti, mislya, che e mnogo interesen i v edna ili druga stepen sa mu posveteni mnogo teorii.

Znachi dali dve mnozhestva sa ednakvi mozhem da opredelim v mnogo razlichni stepeni. Nai-grubiya e donyakyde tozi s teoriya na mnozhestvata. Dve mnozhestva sa ednakvi, ako sa ravnomoshtni. Za topologiyata, ako sa homoeorfni, koeto vklyuchva v sebe si tova da sa ravnomoshtni. Posle mozhem i za difeomorfni i biholomorfni da govorim.

Sled tova mozhem da kazhem, che okryzhnostta i pravata sa lokalno edno i syshto neshto, t.e., ako poglednem samo v nyakakva malka oblast, to te ne se razlichavat edno ot drugo. Sled tova mozhem da zapitame dali, ako dve mnozhestva sa lokalno ednakvi, dali te sa ednakvi. Mozhe bi ot prakticheska gledna tochka, tyi kato nie obitavame samo malki chasti ot pravata/okruzhnostta, ako byahme ednomerni syshtestva, to za nas okruzhnostite i pravite biha bili edno i syshto.

Ima i drug moment svyrzan s nashata ogranichenost. Znachi ako vurvim napred po okruzhnostta nakraya shte se vyrnem obratno v syshtata tochka. Kak obache mozhem da proverim tova. Ami ako vyrvim i sled mnogo vreme ne sme se vyrnali v tochkata, to kak da znaem, che ne sme se vyrnali v starata tochka, shtoto ne sme vyrveli dostatuchno, ili shtoto vsyshtnost tova e prava? Tova e vypros ot taka narechata computability theory i ne znam kak mu se otgovorya.

Osven vsichko tova matematikata mnogo chesto razlichava m/u t.nar extrinsic i intrinsic (izvini angliiskiya) svoistva. Extrinsic sa tezi, koito zavisyat ot tova kak e razpolozheno nashte mnozhestvo v okolnoto prostranstvo. Intrinsic sa tezi, koito samo zavisyat ot samoto mnozhestvo. Kato primer, pomisli kak v krainomernite vektorni prostranstva lineinite operatori sa predstavimi ot matrici. Tova e edno extrinsic svoistvo, zashtoto zavisi ot tova kak izbirame bazisite na vektornite prostranstva. DRug primer za tova e normalniyat vektor na povurhnina. Za da go opredelim tryabva da znaem kak e razpolozhena povurhninata v trimernoto prostranstvo. Ot druga strana za opredelyaneto na dopiratelnite vektori, tova ne e neobhodimo. Po princip se predpochita da se polzvat intrinsic svoistvata, no chesto tehnite definicii togava sa dalech po-abstraktni. Interesno e kogato edno na pruv pogled extrinsic svoistvo se okazhe intrinsic. Nai-izvestniyat primer za tova e krivinata, koyato na pruv pogled zavisi ot razpolozhenieto na mnogoobrazieto v okolnoto prostranstvo. Gauss, obache, pokazva, che tya mozhe da se opredeli, chrez integrirane i taka pokazva, che zavisi samo ot vutreshanta geometriya na mnogoobrazieto. (Theorema Egregium) Znachi vsichko tova e donyakyde idealno i ne pita dali s nashite mashini mozhem da opredelim tezi neshta. (computability theory).

Da se vurnem pak kym globalni/lokalni-te svoistva. Donyakyde e iznenadvashto kak yavleniya s chisto lokalen harakter (reshavane na chastni diferencialni uravneniya) zavisyat ot globalnata geometriya na mnogoobrazieto. Primer za tova e teoriyata na Hodge, Yang-Mills invariants i pr. T.e., mozhem s napulno lokalni sredstva da razlichim m/u razlichni mnogoobraziya i po tozi nachin da razlichim m/u prava i okruzhnost ot nashiya ogranichen krygozor.

Kato po konkreten primer e da presmetnem purvata cohomologichna grupa na de Rham za dvete mnozhestva. Tova se opredelya ot razlichni diferencialni formi i e neshto, koeto mozhem da go presmetnem s prosti integrali, koeto oznachava, che ne e nuzhno da gledame okolnoto prostranstvo. Za okruzhnostta grupata e R (realnite chisla), a za pravata 0 (trivialnata grupa). Sigurno ima i drugi nachini bazirani na kompaktnost/krivina i pr.

Izobshto v po-golyama obshtnost sa interesni vyprosi.