Ето ти едно решение - на C++ Builder. Надявам се, че няма да имаш големи трудности да си го преведеш на Delphi.

#include <winsock.h>

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{ WORD wVersionRequested;
WSADATA wsaData;
wVersionRequested = MAKEWORD(1, 0);
int err = WSAStartup(wVersionRequested, &wsaData);
if(err == 0)
{char hn[1024];
struct hostent *adr;
if (gethostname((char *)&hn, 1024))
{ int err = WSAGetLastError(); // ако те интересува каква е грешката
Beep();
};
adr = gethostbyname(hn);
if (adr)
{ String s;
s.sprintf("%d.%d.%d.%d",(unsigned char)adr->h_addr_list[0][0],
(unsigned char)adr->h_addr_list[0][1],
(unsigned char)adr->h_addr_list[0][2],
(unsigned char)adr->h_addr_list[0][3]);
Label1->Caption = s;
}
}
}