Намерете всички крайни редици от естествени числа (x0,x1,....xn), такива че за всяко j, 0<=j<=n, xj е равно на броят на срещанията на j в цялата редица.

Надявам се да ви е забавно...

Това означава ли, че x0 трябва да се среща 0 пъти???????

Не бе, x0 e броят на нулите в редицата. Пример
2,0,2,0 е такава редица - 2 нули, 0 единици, 2 двойки и 0 тройки. Мързи ме да я решавам тая задача. Помня че имаше 4-5 конктретни редици, както и една обща (с произволна дължина). Решавал съм я през 91-ва на пролетното състезание в Казанлък.

О, Недев....радвам се да те видя.....поизгуби се напоследък

Редактирано от Пaлячo на 22.07.02 13:16.

Мерси, че ме подсети къде другаде е била давана...
И все пак, който не я знае може да си я решава, а теб никой не те кара:)

Между другото, Недев, в кое МГ си учил?

НМГ, випуск 91-ва.

Е това е! Viva НМГ!

Тази с произволната дължина трябва да е при n>5
n-3,2,1,0,0,0,.....1,0,0,0 x(n-3)=1

Ти кой випуск си.

Браво, Палячо!

Само, че се тръсят всички редици, т.е. ако не се доверяваме на Недев трябва да докажем, че други няма....

Така. Решението, както си и спомнях, беше хитро (и не особено кратко).
Ще пусна само отговора, и една (засега) подсказка. Отговор:
при n<3 няма,
при n=3 2,0,2,0 ; 1,2,1,0
при n=4 2,1,2,0,0
при n=5 няма
при n>5 решението на Палячо.
Подсказка:
Вероятно сте забелязали, че sum(ai) = n+1.
Да намирате някакво друго подобно тъждество?

sum[ai]=sum[i*ai]=n+1 =>
x0=sum[(i-1)*a(i)]. T.e a(n)=0 и a0 e най-голямото число след 1.
След тежки разсъждения (които няма да разписвам, ще кажа само, че поставянето на ненулев елемент води до верижното им увеличаване) се установява, че
a1+a2<=3 и от а2 нататък само съответния на а0 може да е ненулев и то не по-голям от 1. Значи освен в съответния на нула не може да има число, по-голямо от 2. Така че ни остава само да редим комбинации а1-а2 при n<=5

bravo Paliacho!

izprevari me :(

Така ли........ееееееееееееех, аз пък си помислих, че не можа да я решиш....(или компютъра ти е забил). Тогава браво и на теб.
Нищо, при следващата задачка ще изчакам десетина дена и чак тогава ще пиша (ако има какво)
М/у другото, това дето съм го пльоснал горе хич не е математически издържано (да не кажа, че гледах Недевите отговори и преценявах "на око"), така че ако имаш някое елегантно и недълго решение можеш да го напишеш. Ама ако те мързи недей

Добре...:)
Ще изчакам до довечера за математически издържано доказателство и ако няма ще ви напиша моето...
Недев, можеш да оставиш другите да се изявяват понеже тъй или иначе знаеш задачата , пък следващия път ще ви дам такава, която никой да не е виждал, но вече ще е за клуб "математика".

Хайде сега, ти пък ме изкара че играя нечестно. Между "знам" и "решавал съм на състезание преди 11 години" има известна разлика.
Я да ви дам една задачка от теория на числата.
Нека p е сума да две последователни нечетни прости числа. Да се докаже че р се разлага на минимум 3 (евентуално повтарящи се) прости множителя. Пример 18=7+11=2*3*3. Ха да ви видим колко помните от Висшата Алгебра:))).

niamam matematicheski izdurjano reshenie, zatova i ne postnah nishto /ne znaeh che mojelo prosto taka - ala-bala :-)/

za sujalenie az rabotia i sabota i nedelia i niamam tvoeto svobodno vreme ;-)

btw, tazi zadachka sum ia vijdala niakude predi mnogo vreme, no ne moga da se setia kude...

Ochewidno p = pn + p(n+1) = 2*x za nqkoe x (kydeto pn i p(n+1) sa dwete posledowatelni NECHETNI prosti chisla). Togawa pn <x <p(n+1) i znachi x ne e prosto, t.e. ima pone 2 prosti delitelq i zaedno s onazi gorna 2ka stanaha 3.

Въобще не се майтапя. Бях сигурен че ще я направиш бързо, обаче дай я на някой специалист по алгебрична теория на числата и да видиш. Виждал съм с очите си как се мъчи 30мин, преди да я реши и да избухне в смях.

ili az neshto ne razbiram, ili ti neshto se bazikash....
ako p1 i p2 sa dve posledovatelni prosti chisla, znachi vsichki chisla mejdu tiah sa composite, aka (p1+p2)/2 e composite..?

Виж ми горния отговор:). Затова казвам, че това е задача за специалисти, щото задачкаджии кат нас я решават много бързо.
Поздрави,
Недев

П.п. Мааму стара, не съм отговорил където трябва. Това е отговор на 1 момиче.

Редактирано от Heдeв на 23.07.02 20:29.

razbrah :-)

ta kakvo obshto imashe vishata trigonometria

И все пак, за да не оставяме нещата недовършени ето ви математическо издържано решение, направо за n>5:

Imame:
(1) a0 + a1 + ....+an = n+1 - broqt na wsichki sreshtaniq na wsichki chisla
(2) 0.a0 + 1.a1 + .... n.an = n+1 , zashtoto towa pyk e sumata na wsichkite chisla w redicata

a0 e nai-golqmoto chislo, zashtoto imame a0 = a2 +... (n-1)an => a0>=ai za i>1 i oswen towa a0>a1, zashtoto w protiwen sluchai pone (n+1)/2 chisla shte sa >0 i togawa ot (2) shte imame (qsno e, che a0 >1) : 0.a0 + 1.a1+... >=1 + 2 + ...(n+1)/2 = (n+1).(n+3)/8 > n+1 za n>5.
Neka sega p e max index, za koito ap>0 => p e max chislo w redicata i a0=p. Togawa ap=1, inache shte trqbwa p<(n+1)/2 i togawa 0te sled p shte sa poweche ot (n+1)/2.
Neka sega q e max index <p, za koito aq>0.
a0 + a1 + ... +aq + ap =n+1 => a1 + .... aq = n - p.
0.a0 + 1.a1 +... +q.aq +p.ap = n+1 => a1 +. ... q.aq = n+1-p.
=> (q-1)aq +... +a2 =1 otkydeto e qsno, che q>1 i ako q>2, to (q-1)aq>1 => q=2 i aq= 1 => a1= 2 i p=n-3 i redicata e n-3, 2, 1, 0, .... , 1, 0, 0, 0.