Логически символи / Наука / Хуманитарни науки / Логика

1- конюнкция (и) 7-дизюнкция (или)
2-не 8-за всяко
3-вярно 9-невярно
4-съществува 10-тафтология
5- импликация (ако....,то....)
6-еквивалентност (точно тогава когато)

пак от мат. логика, и по-точно от теория на моделите.
(някой може да се интересува)

Първия.
Например, ако A е множество от твърдения в един език L, а ф е твърдение от същия език тогава се пише

(1) A |- ф

ако ф e логическо следствие от твърденията в A. Твърдение се нарича затворена формула от L, т.е. формула без свободни променливи. Например ако езика ни е този който използваме при целите числа L={0, 1, +, *} тогава (Ax)(x*y = 1) е отворена формула, защото y е свободно, докато (Ax)(Ey)(x + y = 0) е твърдение защото всички променливи са под действието на някой квантор.
Ако ни е дадено множество от твърдения (или аксиоми) A означаваме с Th(A) съвкупността от всички следствия на A, т.е. Th(A) = { ф : A |- ф и ф e твърдение от езика L}. Th(A) се нарича теория в езика L.
Тавтологии за езика L са тези негови твърдения t, които са следствие на празна теория, или формално записано |- t.

Втория.
Ако ни е дадина теорията T в езика L има едно понятие наречено модел на T. Например целите числа N = { ..., -2, -1, 0, +1, +2, ... } могат да са модел на T в горния език L, ако T е теорията на област от главни идеали (primary ideal domain) - известна теария в алгебрата. Тогава ние пишем

(2) N |= ф

и казваме, че N е модел за твърдението ф, ако то е вярно, когато интерпретираме променливите от ф да означават числа от N и възприемаме 0, 1, + и * да са както обикновенно.

За да се види разликата.
Една теория може да има много модели. Както говорехме за област на главни идеали Т, един друг модел на Т освен целите числа е и съвкупността Q[X] от всички полиноми от една променлива с рационални коефициенти.
Това е много важен за нас факт -- каквото можем да правим с цели числа можем да го правим и с полиноми от Q[X] -- например както има просто число има и неприводим полином, както има алгоритъм на Евклид за делене на цели числа същия алгоритъм работи и при полиномите от Q[X].

Защо казвам това в този клуб?
Ами за да ги стигнем...:)
Надявам се да ви мотивирам и заинтригувам с математичиската логика :)
Защото идеи и техники може да се пренасят между дисциплини. Който не поглежда в двора на съсида само губи!
След големия бум през 30-те години на миналия век математическата логика се разви много бързо; тя е толкова напред, че никой не успява да оползотвори достиженията и.
След двете теореми на Goedel през 1933 се появиха и фелософски въпроси в математиката и въобще в науката. Първата теорема казва скромно, че в обичайната аритметика с цели числа има вярни но недоказуеми теореми. Веднага следве, че и останалите по-сложни теории са непълни, т.е. в науката има истини, които не можем да докажем. Сигурно е, че компютъра не може да ги докаже!
(освен ако не стане пробив в логиката и философската страна на въпроса)