(в отговор на mmm)
Ти казваш първо, че важно следствие от теоремата на Гьодел е, че "не съществува универсална машина на истината".
Ще ти кажа честно, че не виждам връзка с теоремата на Г. за неоълнота и това твърдение. За да не говорим обаче голословно, нека да се занимаем малко по-подробно с въпросите около тази теорема.
Най-общо, въпросите около които се върти интересът са логически въпроси около формалните аксиоматичните системи по принцип. Една формалма аксиоматична система се състои от аксиоми, правила за извод и евентуално дефиниции. Положенията, които следват от аксиомите по правилата за извод са теореми. Важни понятия при аксиоматичните системи са ПЪЛНОТА, НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТ, РАЗРЕШИМОСТ и др.
Непротиворечива е една аксиоматична система, когато в нея не може да се докаже едно твърдение и същевременно, неговото отрицание; в противен случай тя е противоречива.
Понеже става въпрос за формални аксиоматични системи, предварително не се знае какви обекти стоят зад използваните символи, а единствено се приема, че това са някакви обекти, за които важат аксиомите на системата и съответно няма как за тях да не важат и теоремите, защото те следват от аксиомите с необходимост. Значи формалните системи могат да важат за различни области и обекти, стига само за тези области и обекти да са валидни аксиомите на системата. Значи формалните системи могат да имат много възможни интерпретации. Една такава интерпретация на системата се нарича модел.
Едно твърдение във една формална система се приема за ИСТИННО (семантически истинно) когато се превръща в истинно твърдение при ВСЯКА възможна интерпретация, т.е. във всеки възможен модел.
От друга страна, ако някакво твърдение е теорема на една аксиоматична система, то е синтактически истинно в нея.
Понятието за пълнота засяга именно това отношение между синтактическа и семантическа истинност. Т.е. една аксиоматична система е пълна ако всяко семантически истинно положение е и синтактически истинно и обратно. (Синтактически истинно е твърдение, което е изводимо в аксиоматичната система). Между другото тук трябва да се подчертае, че когато говорим за истинност се разбира логическа истинност, а не фактическа, както много лесно може да възникне недоразумение.
Една система е разрешима, когато съществува ефективна процедура, с която можем да определим, дали даден израз е синтактически, съответно семантически истинно твърдение.
Под ефективна процедура се разбира някакъв алгоритъм, т.е. последователност от предписания, които като се изпълнят в конкретния случай, винаги ни дават отговор на поставения въпрос (в дадения случай, на въпроса за истинността). Ако съществува такъв алгоритъм, то неговото извършване може да се предостави на МАШИНА.
Понятието "машина", за което говориш, ми се вижда приложимо в този контекст, към понятието за разрешимостта, което не е предмет на въпросната теорема на Г. и в някакъв смисъл към понятието за пълнота, което наистина се третира от теоремата.
В какъв смисъл? Понеже извеждането на теоремите от аксиомите, въз основа на правилата за извод може да се предостави на машина, то ако системата е пълна, всяка семантическа истина ще може да бъде доказана, т.е. поучена от машината рано или късно. Ако обаче не пълна, в този смисъл, че има твърдение, което е семантически истинно, т.е. за всяка възможна интерпретация на символите на аксиоматичната система е истинно, но е неизводимо синтактически, т.е. неизводимо е в аксиоматичната система, то ясно е, че ние напразно ще чакаме машината да ни го изведе.
Приемам, че ти в този смисъл говориш за несъществуване за машина на истината. При това като казваш ИСТИНАТА имаш предвид логическа истинност, т.е. "необходимо налично, при условието на някакви предпоставки". Под това понятие за истинност съвсем не се разбира това, което обикновенно се разбира под истинност, например истини като "Снегът е бял", "София е столицата на България" и т.н. сами по себе си съвсем не влизат тук.
Чистата логика обаче е тази, която се занимава с всички възможни логически истинни. Т.е. аксиоматичната система, която се занимава с всяка възможна логическа истинност е аксиоматичната система на логиката изобщо. Следователно, става въпрос за аксиоматичните системи на пропозиционалната логика и на предикатната логика. За тях именно можем да говорим за УНИВЕРСАЛНА машина на истината, защото тази машина ще се занимава със всяко възможно логически истинно положение, а не с логически истинно положение по отношение на условията на дадена област.
Е добре, доказано е, че АКСИОМАТИЧНИТЕ СИСТЕМИ НА ПРОПОЗИЦИОНАЛНАТА И ПРЕДИКАТНАТА ЛОГИКА СА ПЪЛНИ. Последното е било по- трудно и е доказано в средата на миналия век пак от Гьодел. (Доказано е също така, че първата е разрешима, а втората не е).
Теоремата за непълнота на Гьодел се отнася не до аксиоматическата система на логическите истини изобщо, а до всяка формална аксиоматична система, която може да има за възможна интерпретация АРИТМЕТИКАТА. Аксиоматическата система на пропозиционалната и предикатната логика не са такива системи!
Нека подчертаем още веднъж, за каква аксиоматична система се отнася теоремата на Г. :
Това е такава формална аксиоматична система, щото ако символите, които използва се тълкуват така, щото аксиомите да се превърнат в крайна сметка в твърдения за числа, то теоремите на тази система ще получат тълкованието на теорията на аритметиката в математиката. ЗА ТАКАВА И САМО ТАКАВА АКСИОМАТИЧНА СИСТЕМА НА ЛОГИКАТА СЕ ОТНАСЯ ТЕОРЕМАТА НА ГЬОДЕЛ ЗА НЕПЪЛНОТА. Всъщност става въпрос за истините на формалната аксиоматична система на АРИТМЕТИКАТА в математиката, а не за общата система на универсалните логически истини. Аксиоматичните системи на предикатната и пропозиционалната логика не са такива системи (за тях е доказано, че са пълни).
Това, което доказва Г. за тези системи на аритметиката е, че ако те са пълни, то в тях може да се докаже едно определено твърдение и неговото отрицание, значи тогава те са противоречиви. Ако пък не са противоречиви, то ще има твърдение, което е аритметическа истина, но няма да може да бъде доказано като теорема в тези системи. Теоремата на Г. не казва всъщност дали тази система ще е противоречив или няма да е пълна, а доказва, че ще важи въпросната неблагопрятна алтернатива.
Действително от теоремата на Гьодел има поука и тази поука е удар по течението на логицизма (учение, което води началото си от Фреге и Ръсел). Т.е. то показва, че е неосъществимо начинание да се изведат положенията на математиката от тези на логиката, или с други думи - невъзможно е математиката да се сведе до логиката.
Но на мен ми се струва, че това не е нещо особенно неочаквано, защото математиката и логиката са различни науки, математиката е по-частна наука, докато логиката изследва формата за всяка истиана и необходимост изобщо, а не някакви частни, пък било то и математически истини.

Това, което казваш по-нататък, ми се струва, че се гради върху неправилно схващане на предмета на логиката.
Логиката съвсем не е призвана да намери всяка истина, така както философията не е призвана да открие белтъчния състав в хромозомите в ядрото на клетката например (за това е призвана една частна наука - биологията).
Но логиката изследва нещо особенно философски значимо, тя изследва ФОРМАТА, КОЯТО ПРАВИ ВЪЗМОЖНА ВСЯКА ИСТИНА И ВСЯКА НЕОБХОДИМОСТ, без оглед на това от каква област е тази истина, дали има метафизически, обективен или събективен характер.
А тъй като в крайна сметка истината и нейното разумно обосновавне е целта на всяка наука, то логиката изследва това, което прави възможно изобщо науката и философията. Тя се абстрахира от отделните фактически и каквито и да било истини на науките.

blagodarja za obshirnija obzor. Spomenavajki Universalnata Machina na Istinata imah predvid edin sketch. Gledai sega kakvo stava:


1) Someone introduces Gцdel to a UTM, a machine that is supposed to be a Universal Truth Machine, capable of correctly answering any question at all.

2) Gцdel asks for the program and the circuit design of the UTM. The program may be complicated, but it can only be finitely long. Call the program P(UTM) for Program of the Universal Truth Machine.

3) Smiling a little, Gцdel writes out the following sentence: "The machine constructed on the basis of the program P(UTM) will never say that this sentence is true." Call this sentence G for Gцdel. Note that G is equivalent to: "UTM will never say G is true."

4) Now Gцdel laughs his high laugh and asks UTM whether G is true or not.

5) If UTM says G is true, then "UTM will never say G is true" is false. If "UTM will never say G is true" is false, then G is false (since G = "UTM will never say G is true"). So if UTM says G is true, then G is in fact false, and UTM has made a false statement. So UTM will never say that G is true, since UTM makes only true statements.

6) We have established that UTM will never say G is true. So "UTM will never say G is true" is in fact a true statement. So G is true (since G = "UTM will never say G is true").

7) "I know a truth that UTM can never utter," Gцdel says. "I know that G is true. UTM is not truly universal."

Think about it - it grows on you ...


Oburni vnimanie, che tuk se dokazva ne che sushtestvuvat tvurdenija koito ne mogat da budat dokazani ili oprovergani v ramkite na konkretna aksiomatika ( vuprosnij kalambur - G ). No se dokazva, che choveka znae edna istina v poveche ot UTM, a imenno che "UTM njama da kaze, che G e istina" e istina.

"NE sushtestvuva UTM" sintakticheski istinno v koja sistema e?

gornoto go privedoh kato primer zashto postiganeto na PULNA istina chrez misul, t.e. logika e nevuzmozno. A vuprosite na istinata sa vazni ot filosofska gledna tochka. V ramkite na chastna log. s-ma moze i da ne sa.

Това, което си привел е готино.
То обаче доказва, че не е възможен алгоритъм (програма), чрез която да се дава отговор на всеки въпрос. Алгоритъма е строга последователност от действия, която се извършва механически, т.е. БЕЗ МИСЛЕНЕ. В някакъв смисъл алгоритъм и мислене са антиподи.
Ако може изобщо да се достигне до някаква истина по съзнателен начин (съмнявам се, че има друг начин), то това е чрез мислене. Мисленето е в основата на всяка наука (включително на логиката и философията).
Логиката обаче не е тъждествена с мисленето, логиката е науката, която изследва формите на мисленето. Ако щеш - тя е мисленето за мисленето, но мисленето може да има и друг обект освен себе си. Тогава когато не е насочено към себе си, то е в основата на другите науки - биология, химия и пр.
Естествено необходима е и емпирия, опит и т.н., но мисленето е в основта на всяка наука.

a matematikata kakvo e?

Lyubopiten sym kak se vpisva v tazi klasifikaciya.

V primera, koito dadoh , spokojno mozesh da zabravish za "algoritum i programa". UTM e prosto obekt (na suznanieto ;))) koito pritezava slednite dve kachestva:
- znae vsichki tvurdenija, koito sa istina i vsichki - koito sa luza.
- nikoga ne luze.
okazva se che tezi dve kachestva si protivorechat. UTM e nevuzmozna zashtoto sme razdelili sveta na dve chasti - obekt i subekt. A za pulnata istina trjabvat i dvete. Misulta ni lishava ot obektivnata istina. Dokato "mislim" tja vinagi shte ni ubjagva. Vjarno e che misleneto e v osnovata na vsjaka nauka, samo che zashto smjatash , che naukata ni vodi kum istinata. Naukata e naj-kategorichna samo togava, kogato trjabva da oprovergae sebe si. Do istini moze da se stiga i bez misul. Naprimer estetikata i vuobshte - izkustvata.

Прав си, че това няма общо с алгоритми и машини в същността си. То има отношение с парадоксите в логиката. По-специално с древния парадокс на лъжеца.
А той е, че се пита истина или неистина е изказването "Това изказване е неистино", или също истина ли казва, човек който твърди "В момента казвам една лъжа" - ясно е, че ако предположим, че тези изказвания са истинни, то това което твърдят ще отговаря на действителността, а то е , че са неистинни. Обратно, ако допуснем, че са неистинни, то ще е вярно отрицанието на това, което твърдят и следователно ще са истинни. А понеже едно изказване е или истинно или неистинно, то значи винаги ще имаме противоречие.
Върху тези парадокси е било обърнато особенно внимание, когато се открива парадокса на Ръсел, който важи за теорията на множествата, която се поставя в основата на цялата математика.
Парадоксът на Ръсел е следния: Разглеждаме понятието за множество, нито един от елементите на което, не е самото то. Всъщност сигурно всички множества са такива, например множеството на бутилките има за елементи всички бутилки и нито една бутилка не е множеството от всички бутилки. Такова множество наричаме "множество, което не принадлежи на себе си".
Сега разглеждаме множеството от всички множества, които не принадлежат на себе си. Значи това е множеството, което има за елементи всички множества, които не принадлежат на себе си. Пита се това множество принадлежи ли на себе си. Ако принадлежи на себе си, понеже то има за елементи множествата, които не принадлежат на себе си, то то няма да принадлежи на себе си. Обратно, ако не принадлежи на себе си, понеже то е множеството от всички множества, които не принадлежат на себе си, значи ще принадлежи на себе си. И в двата случая стигаме до противоречие.
За да се справи с възникването на такива парадокси в логиката, Ръсел изгражда т.нар. "теория на типовете". В нея нещото (веща), свойството на веща, свойството на свойството, отношението, свойството на отношението и т.н. се разглеждат като различни типове обекти и се разглежда като правомерно само на обекти от един определен тип да се приписват обекти на друг тип. Например на обектите тип вещи може да се приписват обекти тип свойства, но не може да се приписват обекти от тип "свойства на свойства", когато обаче това стане тези изказвания се разглеждат като безсмислени. Обекти от един и същи тип не могат да се приписват един на друг. Чрез тази теория се преодолява парадокса на Ръсел. А и изглежда парадокса на лъжеца, тъй като не може едно изказване да твърди нещоа, в което се включва самото то. (Обекти от един и същи тип приписвани един на друг правят полученото твърдение безсмислено, според теория на типовете)
Тъй като парадокси от типа на лъжеца стават въз основа на твърдение на нещо за самото твърдение, т.е. едно изказване говори за самото себе си (т.е. имаме рефлексивни изказвания), такива парадокси се преодоляват и от теорията за обектния и мета-езика на Тарски. Обектния език е езика, който говори за обектите от света. Мета езика говори за обектния език, т.е. той говори за самия език, който говори за обектите. По този начин имаме и мета-мета-език и т.н. Тарски издига правилото, че за да не получаваме безсмислици не трябва да смесваме обектен и мета език. В парадоксите от типа на лъжеца се прави именно това.

Не бързай да погребваш толкова бързо мисленето. Ако както казваш, мисленето не само че не достига до истината, но и пречи за нейното достигане, то чрез мисленето ще достигаме до неистината. Всъщност обаче, чрез твоята философска дейност (в този клуб), чрез мисленето, ти достигаш до положението "чрез мисленето, не се достига до истината". Тъй като чрез мисленето се достига само до неистина според тебе, то и това конкретно положение, до което си дошъл мислейки, ще е неистина, но ако то е неистина, ще е истина , че "чрез мисленето се достига истината". :)

tazi teoriya na Russel kak se naricha na angliiski?
Po princip paradoksyt na Russel se razreshava chrez izgrazhdaneto na aksiomatichnata teoriya na mnozhestvata. Tam se govori za ponyatieto klas. Vsyako mnozhestvo e klas, no ne vseki klas e mnozhestvo. Ako se ne lyzha edin klas e mnozhestvo ako e podklas na drug klas.

Ima i t.nar. category theory, koeto si e razshirenee na teoriyata na mnozhestvata.

Boian

na teb koi ti kaza, che sum doshul tuk da ti kazvam istinata ;) - Az ne sum UTM i sledovatelno moga da luza. Paradoksut na luzeca, kakto i vsichki podobni kalamburi imat edno sushtestveno obshto kachestvo - te njamat otgovor. A tvurdenieto "G" - ima. G e istina!
S pomoshta na teorija na klasovete/typovete mozesh li da mi izvedesh tvurdenieto : " s pomoshta na Teorija na klasovete ne e vuzmozno da se konstruirat kalamburi" ? ;))
Dnes teorija na klasovete zamestva teorija na mnozestvata, utre neshto drugo shte zamesti t. na klasovete. Vsjaka sistema ne sudurza pulnata istina za sebe si.
No v tova njama nishto chudno - to sledva ot postulata - edno tvurdenienie ne trjabva da se sudurza v sebe si. Edna sistema ne trjabva da se otnasja kum sebe si. S koeto se vizda che T. na Godel vazi i za logikata.

за природата на математиката
Всъщност за математиката има май два съвременни възгледа:
1)Първия възглед идва от Кант. При него в основата на математиката лежи чистия наглед като субективна (на субекта по принцип) способност. Той има две форми - времето и пространството. В основата на геометрията например лежи пространството, а при аритметиката, където основно е броенето се включва и времето. Според този възглед математиката има нагледен характер. Постиганото от нея знание е априорно (т.е. няма опитен характер) - това идва от схващането на чистия наглед като принадлежаща към субекта форма на познанието, а също и синтетично (т.е. постигано НЕ просто чрез анализ на понятията)- това идва от нагледния характер.
2) Втория възглед принадлежи на направлението на логицизма в математиката. Негови главни представители са главните създатели на символната логика - Фреге и Ръсел, а също мисля и логическите позитивисти от Виенския кръг. Според това направление, математиката може да се сведе до логиката. Това става, като понятията на математиката, се сведат, чрез дефиниции, до единствено логически понятия, като "отношение", "свойство", "пропозиционална функция" и т.н. За разлика от първия възглед и в съответствие с идеята за свеждане до логиката, вече тук математиката се разглежда като имаща аналитичен характер, а също пак за разлика от горе - ненагледен характер, или поне в своята система основана само на логиката, тя може да се представи не-нагледно.

Заради проблемите с теория на множествата и парадоксите, направленията на интуиционизма и конструктивизма се връщат към Кантовия възглед за математиката.
Аз лично намирам кантовия възглед за философски най-приемлив.

Разбира се има и други разбирания за математиката, например Платонизъм, или пък емпиризъм, но те ми се струват философски изживяли времето си.