kakvo e a(mod b) ?
5 отговора
54 прегледа
Отг: kakvo e a(mod b) ?
Ami napravo, a=b (mod c) oznachava che c | (a-b). Definiciyata mozhe da se obobshti za proizvolen komutativen prusten. Ne mi se misli za nekomutativna versiya....
Inache b ne e zadulzhitelno da e ostatyka pri delenie na c.
Naprimer 14=4 (mod 3)
Boian
Inache b ne e zadulzhitelno da e ostatyka pri delenie na c.
Naprimer 14=4 (mod 3)
Boian
Отг: (mod J) e kongruencia
Всичко което се каза тук е вярно; точно така се пресмята този израз. Взема се остатъка при делението.
В алгебрата с (mod J) се означават така наречените “конгруенции”, които са релации за еквивалентност, притежаващи свойството субституция за всички операции от алгебричната структура. С конгруенции може да се определят алгебричните операции във фактор-алгебрите.
ПРИМЕР1 с цели числа, само с +. Да разгледаме по-подробно как се смятат изрази с конгруенцията (mod 3), например. Можем да пресметнем
7 + 4 (mod 3)
като първо съберем 7+4=11 и след това, като намерим остатъка при деление на числото 11 с 3; получаваме 2.
Същия израз, благодарение на свойството субституция на конгруенцията (mod 3), можем да пресметнем и по следния начин; ами внасяме (mod 3) в сумата и пресмятаме
(7 (mod 3)) + (4 (mod 3)) (mod 3)
Остатъка при деление на 7 с 3 е 1; остатъка при деление на 4 с 3 е също 1; тогава получаваме
1 + 1 (mod 3)
и сега като намерим сумата имаме
2 (mod 3)
което си е 2. Така получихме отново същия резултат.
ПРИМЕР2 с цели числа с + и *. Сега ще пресметнем израз в който освен събиране има и умножение. Да вземем конгруенцията (mod 5) и да пресметнем
7+3*6 (mod 5)
като първо пресметнем 7+3*6=7+18=25; след това намираме остатъка при деление на 25 с 5, и получаваме като резултат 0.
Ясно е, че ако използваме свойството субституция на конгруентнцията (mod 5) и внесем в сумата и произведението (mod 5) ще получим
(7(mod) 5+(3(mod 5)) * (6(mod 5)) (mod 5) =
= 2+3*1(mod 5) =
= 2+3(mod 5)=
= 5(mod 5) = 0
Същността се крие в определението: “отношение на еквивалентност със свойство субституция” – разбиваме целите числа по подходящ начин на класове еквивалентности, отъждествяваме всички елементи от един клас, и вземаме от всеки клас по един представител. Например при (mod 3) имаме три класа; вземайки като представители на тези три класа 0, 1 и 2, бихме могли да означим класовете чрез
[0] = {0, 3, 6, 9, 12, …}
[1] = {1, 4, 7, 10, 13, …}
[2] = {2, 5, 8, 11, 14, …}
За елементите от един и същи клас казваме че са конгруентни и означаваме този факт с изразите
0=1(mod 3),
6=12(mod 3),
5=14(mod 3)
и т.н.т.
Благодарение на свойството субституция, можем да заменяме <междинни> резултати с който и да е представител от даден клас, и окончателния резултат е винаги представител от класа на крайния резултат. Например
1=0+1=9+13= 6+10 (mod 3)
и т.н.т.
Но не всяко произволно разбиване на класове е конгруенция. Ако разбиването (mod J) е конгруенция трябва да имаме
a+b(mod J)=(a(mod J))+(b(mod J))
в което се състои и свойството субституция.
В алгебрата осевен числа се разглеждат и други, съвсем абстрактни обекти, и за тях също използваме (mod J) за да означим конгруенция. В тези случаи J е някоя нормална под-група или идеал (т.е. ядрото J=ker(f) на някой хомоморфизъм f:A->B)
Ключови думи: конгруенция, релация, еквивалентност, идеал, нормална под-група, ядро на хомоморфизъм, фактор-група, фактор-алгебра.
Литература: който и да е учебник по висша алгебра.
/B3
В алгебрата с (mod J) се означават така наречените “конгруенции”, които са релации за еквивалентност, притежаващи свойството субституция за всички операции от алгебричната структура. С конгруенции може да се определят алгебричните операции във фактор-алгебрите.
ПРИМЕР1 с цели числа, само с +. Да разгледаме по-подробно как се смятат изрази с конгруенцията (mod 3), например. Можем да пресметнем
7 + 4 (mod 3)
като първо съберем 7+4=11 и след това, като намерим остатъка при деление на числото 11 с 3; получаваме 2.
Същия израз, благодарение на свойството субституция на конгруенцията (mod 3), можем да пресметнем и по следния начин; ами внасяме (mod 3) в сумата и пресмятаме
(7 (mod 3)) + (4 (mod 3)) (mod 3)
Остатъка при деление на 7 с 3 е 1; остатъка при деление на 4 с 3 е също 1; тогава получаваме
1 + 1 (mod 3)
и сега като намерим сумата имаме
2 (mod 3)
което си е 2. Така получихме отново същия резултат.
ПРИМЕР2 с цели числа с + и *. Сега ще пресметнем израз в който освен събиране има и умножение. Да вземем конгруенцията (mod 5) и да пресметнем
7+3*6 (mod 5)
като първо пресметнем 7+3*6=7+18=25; след това намираме остатъка при деление на 25 с 5, и получаваме като резултат 0.
Ясно е, че ако използваме свойството субституция на конгруентнцията (mod 5) и внесем в сумата и произведението (mod 5) ще получим
(7(mod) 5+(3(mod 5)) * (6(mod 5)) (mod 5) =
= 2+3*1(mod 5) =
= 2+3(mod 5)=
= 5(mod 5) = 0
Същността се крие в определението: “отношение на еквивалентност със свойство субституция” – разбиваме целите числа по подходящ начин на класове еквивалентности, отъждествяваме всички елементи от един клас, и вземаме от всеки клас по един представител. Например при (mod 3) имаме три класа; вземайки като представители на тези три класа 0, 1 и 2, бихме могли да означим класовете чрез
[0] = {0, 3, 6, 9, 12, …}
[1] = {1, 4, 7, 10, 13, …}
[2] = {2, 5, 8, 11, 14, …}
За елементите от един и същи клас казваме че са конгруентни и означаваме този факт с изразите
0=1(mod 3),
6=12(mod 3),
5=14(mod 3)
и т.н.т.
Благодарение на свойството субституция, можем да заменяме <междинни> резултати с който и да е представител от даден клас, и окончателния резултат е винаги представител от класа на крайния резултат. Например
1=0+1=9+13= 6+10 (mod 3)
и т.н.т.
Но не всяко произволно разбиване на класове е конгруенция. Ако разбиването (mod J) е конгруенция трябва да имаме
a+b(mod J)=(a(mod J))+(b(mod J))
в което се състои и свойството субституция.
В алгебрата осевен числа се разглеждат и други, съвсем абстрактни обекти, и за тях също използваме (mod J) за да означим конгруенция. В тези случаи J е някоя нормална под-група или идеал (т.е. ядрото J=ker(f) на някой хомоморфизъм f:A->B)
Ключови думи: конгруенция, релация, еквивалентност, идеал, нормална под-група, ядро на хомоморфизъм, фактор-група, фактор-алгебра.
Литература: който и да е учебник по висша алгебра.
/B3
в отговор на Potencialen emigrant
#6
Поправям се
Potencialen emigrant,
:) Тази забележка май беше за мен, и аз я приемам.
Признавам си, че писах малко “свободно” и нахаках онези (mod 5) по средата на изразите, както ми хрумне.
Извинявам се!
За това, уточнявам.
В предишния текст който писах, с (mod J) означавам релация, а не алгебрична операция. Направете разлика: в езика за програмиране Pascal, ключовата дума mod е алгебрична операция; тя има като аргументи две цели числа, и резултата е цяло число; т.е. резултата от (a mod b) е остатъка при делението на a с b.
Ако искаме да бъдем встриктни, (mod J) гледано като релация трябва да се записва като
a(mod J)b
и тогава резултата е TRUE или FALSE, също както когато пишем a=b или a<b.
Този начин на употреба на символите (mod J) се срещат в книги по алгебра, например в Г.Биркгоф, “Теория решеток”(Garrett Birkhoff, Lattice Theory, 1967). Там, например, се пишат изрази, като
a/\b \/ c = u/\v = … = x/\(y\/z) (mod J),
и горното се чете така, че = не е нашето обикновенно равенство, а еквивалентност по конгруенцията (mod J).
Все пак алгебрата не е език за програмиране:) Никой не си играе да пише
a/\b\/c(mod J)….,
понеже записът става много тежък и нечетлив (а може би това е лошо; ако синтаксиса е встриктен, универсален като C++, Pascal, тогава няма да възникват недоразумения).
Все пак не бях прав. Не трябваше да внасям (mod J) по средата на изразите, но всеки, предполагам, ще разбере какво съм искал да кажа. И въпроса май беше как се четат изрази от вида
а+b*c = x (mod J),
или нещо не съм разбрал?
/B3
:) Тази забележка май беше за мен, и аз я приемам.
Признавам си, че писах малко “свободно” и нахаках онези (mod 5) по средата на изразите, както ми хрумне.
Извинявам се!
За това, уточнявам.
В предишния текст който писах, с (mod J) означавам релация, а не алгебрична операция. Направете разлика: в езика за програмиране Pascal, ключовата дума mod е алгебрична операция; тя има като аргументи две цели числа, и резултата е цяло число; т.е. резултата от (a mod b) е остатъка при делението на a с b.
Ако искаме да бъдем встриктни, (mod J) гледано като релация трябва да се записва като
a(mod J)b
и тогава резултата е TRUE или FALSE, също както когато пишем a=b или a<b.
Този начин на употреба на символите (mod J) се срещат в книги по алгебра, например в Г.Биркгоф, “Теория решеток”(Garrett Birkhoff, Lattice Theory, 1967). Там, например, се пишат изрази, като
a/\b \/ c = u/\v = … = x/\(y\/z) (mod J),
и горното се чете така, че = не е нашето обикновенно равенство, а еквивалентност по конгруенцията (mod J).
Все пак алгебрата не е език за програмиране:) Никой не си играе да пише
a/\b\/c(mod J)….,
понеже записът става много тежък и нечетлив (а може би това е лошо; ако синтаксиса е встриктен, универсален като C++, Pascal, тогава няма да възникват недоразумения).
Все пак не бях прав. Не трябваше да внасям (mod J) по средата на изразите, но всеки, предполагам, ще разбере какво съм искал да кажа. И въпроса май беше как се четат изрази от вида
а+b*c = x (mod J),
или нещо не съм разбрал?
/B3