pi
15 отговора
95 прегледа
за Abraham Robinson
А бе, ..., как стоят нещата в днешно време с нестандартния анализ на Робинсон?
Интересува ли се някой от това?
На бързо за Робинсон:
[линк]
Може ли някой да обясни, какво е това "Economies", по което е работил Робинсон?
През 60-те години Abraham Robinson построява модел R*, който разширява реалните числа, с така неречените "безкрайно малки" числа и съответно, реципрочните им - "безкрайно големи".
В този модел, R* e добре наредено поле, също както полето от реални числа, но в него не се изпълнява аксиомата на Архимед.
Има ентусиасти, които казват, че в рамките на тази теория трябва да се чете анализа в днешно време. В тази теория, вместо стандартното епсилон-делта, просто се оперира алгебрически с безкрайно малки числа (тази възможност е била мечта още на Лейбниц).
В нашите библиотеки се намира един превод на руски, на книгата на А. Робинсон "Въведение в метаматематиката на алгебрата и теория на моделите" от 1965г. В края на тази не-голяма книжка е изложен този модел.
Намира се и една друга малка книжка, пак руски превод, а автора мисля че се казваше Девис. Тази книжка беше изцяло посветена на нестандартния анализ.
[P.S. Този A. Robinson не е онзи Robinson, от който идва метода на резолюцията в логиката.]
за Abraham Robinson
Rossi,
Тези книги ги бях взел от заемната библиотека на МЕИ-то, някъде преди около 5 години. Сигурен съм, че още ги има още там, и едва ли някой друг ги е взел в момента:) -- твърде специализирани са.
Иначе, в библиотеки като ЦИНТИ или НБ, не може да ги няма! Там има много повече книги! А ако искаш за в къщи, там има ксерокс. Наскоро копирах в ЦИНТИ само за 17лв "Реален и комплексен анализ" на Рудин (много е хубава).
В ЦИНТИ една карта за цяла година струва самп 5лв. В ЦИНТИ може да се търси в библиографията с компютър, но в базата данни са вкарани само книгите издавани след 1970г. Така, че по-старите трябва да ги тъсиш в каталога, ръчно:( Не зная как е в НБ -- не съм ходил отдавна.
Ако търсиш тези книги, първата я търси в каталога по автори, под името "Робинсон, А." По принцип, тази книга е по математическа логика и е написана много просто, ясно и хубаво; по-точно по теория на моделите(а както казва Кейслер, теория на моделите = логика + алгебра). Все пак, препоръчвам тази книга на студенти, които са минали стандартен курс по логика в СУ; не е много лесна за четене.
За втората книга, за съжаление си спомням (дано да не греша) само фамилията на автора -- Девис (или Дейвис). Заглавието и беше нещо като "Нестандартен анализ" или "Анализ на безкрайно малките", ... но лесно ще се ориентираш -- няма много книги писани по нестандартен анализ. За тази книга не мога да дам каквито и да е пропоръки, понеже не я четох :). Помня само, че построяването на R* използваше основно теория на множествата, някакви филтри там, ... и ще е необходимо да си наясно с теория на множествата.
Ако се интересуваш много от нестандартен анализ (нарича се още инфинитесиален анализ, или анализ на Робинсон), най-добре търси по-нови книги в Internet, и прежали $50-$60 за достава по пощата.
Може и да опиташ да потърсиш по-нови неща в компютрите на ЦИНТИ и НБ. Или ако учиш в СУ (или друг университет), питай някой асистент, доцент ... :) Това е най-сигурната информациа!
boiko_angelov@yahoo.com
в отговор на Potencialen emigrant
#10
Отг: pi
Predpolaga se, 4e pone edini4na okryjnost znae6 kakvo e - ottam natatyk, e lesno :-)
Отг: pi
:) Друг интересен начин за дефиниране на PI (взет е от книга).
Опъват се успоредно няколко корди (като за рибарско влакно) на близко разтояние и подхвърляме една игла над тях. Броим колко пъти иглата ще падне и колко пъти ще се запречи. В описване на тази вероятност влиза PI, така, че ако я знаем априори, или чрез експерименти, ще пресметнем числото PI със всяка искана точност :) Как работи метода Монте-Карло?
И тук не става въпрос за яйцето и кокошката, а това са различни интерпретации на една и съща същност. Различните интерпретации и гледни точки винаги изясняват повече дадено нещо.
Може също да се напомни, че функции като arcsin(x), sin(x), exp(x), ... се представят също и като безкраен ред (развиват се в ред на Тейлор). Така, че PI, а също и e=2.71... се изразяват без проблем от тези функции при определена стойност на аргумента.
Aко ни харесва, можем и така да дефинираме PI.
По подобен начин е направен известния ред на Лейбниц за смятане на PI:
PI / 4 = 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + …
Освен, че функции като arcsin(x), log(x) ... имат представяне в ред, те също могат да се дефинират като решения на диференциални уравнения от комплексни функции. По този начин (чрез log(x)) може да се изясни смисъла на степен с показател реално и комплексно число (степен с цял показател се определя лесно алгебрически); в този случай има и геометрическа интерпретация, чрез площи. Обяснено е в една книга на Клеин, писана около 1900-та година.
Все пак, числото PI=3.14... най-вече защото така е било дефинирано от древните Гърци, като пропорция между диаметъра и дължината на окръжност. Ясно е, че интерпретацията тук е чисто геометрическа. Иначе можеше и да е някое кратно на 3.14..., което също ще върши работа.
Интересна е историята около задачата за “Квадратурата на кръга”, поставена от Гърците. До преди 150 год. още са се опитвали да я решат, за да се разбере, че не може едва в края на 19-ти век, когато е доказано че PI е трансцедентно число (доказва се с помощта на равенството на Ойлер exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x) и факта, че “e” е трансцедентно).
В музея на науката и изкуствата в Париж се пази един ръкопис, дето един монах изрязва кръгли и квадратни фигури от кожа, мери ги с теглилка и се опитва да докаже, че на един кръг съответства квадрат със същата площ. Този човек изобщо не е разбрал постановката на задачата за квадратурата на кръга, поставена 1500 години преди него.
/B3
Опъват се успоредно няколко корди (като за рибарско влакно) на близко разтояние и подхвърляме една игла над тях. Броим колко пъти иглата ще падне и колко пъти ще се запречи. В описване на тази вероятност влиза PI, така, че ако я знаем априори, или чрез експерименти, ще пресметнем числото PI със всяка искана точност :) Как работи метода Монте-Карло?
И тук не става въпрос за яйцето и кокошката, а това са различни интерпретации на една и съща същност. Различните интерпретации и гледни точки винаги изясняват повече дадено нещо.
Може също да се напомни, че функции като arcsin(x), sin(x), exp(x), ... се представят също и като безкраен ред (развиват се в ред на Тейлор). Така, че PI, а също и e=2.71... се изразяват без проблем от тези функции при определена стойност на аргумента.
Aко ни харесва, можем и така да дефинираме PI.
По подобен начин е направен известния ред на Лейбниц за смятане на PI:
PI / 4 = 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + …
Освен, че функции като arcsin(x), log(x) ... имат представяне в ред, те също могат да се дефинират като решения на диференциални уравнения от комплексни функции. По този начин (чрез log(x)) може да се изясни смисъла на степен с показател реално и комплексно число (степен с цял показател се определя лесно алгебрически); в този случай има и геометрическа интерпретация, чрез площи. Обяснено е в една книга на Клеин, писана около 1900-та година.
Все пак, числото PI=3.14... най-вече защото така е било дефинирано от древните Гърци, като пропорция между диаметъра и дължината на окръжност. Ясно е, че интерпретацията тук е чисто геометрическа. Иначе можеше и да е някое кратно на 3.14..., което също ще върши работа.
Интересна е историята около задачата за “Квадратурата на кръга”, поставена от Гърците. До преди 150 год. още са се опитвали да я решат, за да се разбере, че не може едва в края на 19-ти век, когато е доказано че PI е трансцедентно число (доказва се с помощта на равенството на Ойлер exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x) и факта, че “e” е трансцедентно).
В музея на науката и изкуствата в Париж се пази един ръкопис, дето един монах изрязва кръгли и квадратни фигури от кожа, мери ги с теглилка и се опитва да докаже, че на един кръг съответства квадрат със същата площ. Този човек изобщо не е разбрал постановката на задачата за квадратурата на кръга, поставена 1500 години преди него.
/B3
Отг: pi
Vsichko tova e vyarno. Samo tryabva da se vnimava kyde mozhem da otdelyame ednoznachen klon na log. Naprimer, tova ne e vyzmozhno v edinichniya krug.
Toerema: Ako, U e edno svyrzana oblast v kompleksnata ravnina, to mozhe3 da se definira holomorfen klon na logz , za z \in U.
Taka, chrez log mozhe da se definira arcsin i ottam integrala.
Sravnitelno standardanten nachin v analiza za definirane na \pi e definirane na cos(x) kato Re(e^(ix)) i sled tova dokazvane, che cos(x) ima edinstvena nula v intervala (0,2). Neya ya narichame $\pi/2$.
......
Boian
Toerema: Ako, U e edno svyrzana oblast v kompleksnata ravnina, to mozhe3 da se definira holomorfen klon na logz , za z \in U.
Taka, chrez log mozhe da se definira arcsin i ottam integrala.
Sravnitelno standardanten nachin v analiza za definirane na \pi e definirane na cos(x) kato Re(e^(ix)) i sled tova dokazvane, che cos(x) ima edinstvena nula v intervala (0,2). Neya ya narichame $\pi/2$.
......
Boian
Отг: pi
За дефинирането на cos(x) като реална част на exp(i*x) и PI/2 като единствената му нула в (0, 2) вече го срещнах в една от книгите, които ти ми препоръча.
Още не ми е ясна останалата част на комплексния анализ. Би ли обяснил какво е “едно-свързана област” и “холоморфен клон” с няколко думи, ако ти се вижда кратко? Аз ще погледна също в книгата.
Може ли някой да припомни как се дефинираше log(x) като решение на диференциални уравнения от комплексни функции? Как беше уравнението? Бях видял това нещо в една книга на Клеин (немски математик от 1900-те години) и много ми хареса обяснението. Там на log(x) съответстваше площ на област заградена от две прави и една крива (май че кривата на exp(x))? По аналогичен начин там се въвеждаше arcsin(x) и останалите тригонометрични функции.
Бояне, ти искаше още нещо да кажеш, така ли?
Занимавал ли си се с Wavelets?
Бойко
Още не ми е ясна останалата част на комплексния анализ. Би ли обяснил какво е “едно-свързана област” и “холоморфен клон” с няколко думи, ако ти се вижда кратко? Аз ще погледна също в книгата.
Може ли някой да припомни как се дефинираше log(x) като решение на диференциални уравнения от комплексни функции? Как беше уравнението? Бях видял това нещо в една книга на Клеин (немски математик от 1900-те години) и много ми хареса обяснението. Там на log(x) съответстваше площ на област заградена от две прави и една крива (май че кривата на exp(x))? По аналогичен начин там се въвеждаше arcsin(x) и останалите тригонометрични функции.
Бояне, ти искаше още нещо да кажеш, така ли?
Занимавал ли си се с Wavelets?
Бойко
Отг: pi
Boiko,
Nai-napred edna korekciya. Citirah edna teorema, koyato tryabva da glasi:
Ako, U e ednosvyrzana oblast, takava che 0 \notin U, to mozhem da otdelim holomorphen klon na log(z) v U.
Kakvo e ednosvyrzana oblast. Oblast e razbira se otvoreno i svyrzano mnozhestvo. ednosvyrzano, oznachava, che vseki zatvorena kriva mozhe da se deformira neprekysnato do konstantna kriva. (Na topologichen ezik fundamentalnata grupa e trivialna). Kato cyalo ednosvyrznanost e chisto topologichno ponyatie, koeto ni pomaga da izbegnem nepriyatnosti kato mnogoznachnost.
A sega kakvo e holomorphen klon. E, bi tryabvalo da znaesh che exp(x +2n\pi i)=exp(z). Taka che obratnite funkcii na exp se razlichavat s cyalo kratno na 2\pi i. (Tova razbira se ako predpolozhim neprekysnatost). ednoznachen klon na log(z) narichame funkciyata f(z) za koyato
exp(f(z))=z i f(z) e neprekyznata. Razbira se pri takiva obstoyatelstva, f se okazva i analitichna. (shtoto exp e)
Tiya neshta sa dobre obyasneni v knigata na T. Argirova "Teoriya na Analitichnite Funkcii". Tam shte namerish i definiciya na ednosvurzana oblast.
A inache log z mozhe da se definira i po drugi nachini. Ako se ne lyzha mozhem da go definirame kato reshenie na
df/dz=1/z, df/d(\bar z)=0. Poslednoto e prosto za da ni garantira analitichnostta. Ne znam dali tova e polezen metod v C. Za realnata prava ni dava
log(z) = \int_0^z 1/z dz (izvini me, ama polzvam LaTeX)
log(z) mozhe syshto da se definira i kato holomorphna funkcia, taka che ln|z| da i e realnata chast a imaginernata da harmonichno spregnata na ln|z|. Pone tova mozhe da se pravi lokalno. T.e. pri dadena harmonichna funkciya u, mozhem __lokalno__ da namerim v, taka che u+iv da e holomorphna.
Vsichko tova tryabva da te navezhda na misylta che log ima golemi problemi okolo nulata. Vsichki tezi definicii imat problemi ako z=0.
Poslednata formulirovka mozhe da se nameri v H.Cartan "Elementary Theory of holomorphic functions of one or several variables" (elementary e mnogo podvezhdashto).
Cartan syshto taka definira i log po oshte edin nachin, koito ne sym go sreshtal drugade. Purvo definira argument na z, chrez algebrichni ponyatiya kako dopulnitelen klas (koset) na 2\pi Z ili neshto podobno. Ne si spomnyam detailite.
E tova e.
S wavelets nikoga ne sum se zanimaval.
Boian
Nai-napred edna korekciya. Citirah edna teorema, koyato tryabva da glasi:
Ako, U e ednosvyrzana oblast, takava che 0 \notin U, to mozhem da otdelim holomorphen klon na log(z) v U.
Kakvo e ednosvyrzana oblast. Oblast e razbira se otvoreno i svyrzano mnozhestvo. ednosvyrzano, oznachava, che vseki zatvorena kriva mozhe da se deformira neprekysnato do konstantna kriva. (Na topologichen ezik fundamentalnata grupa e trivialna). Kato cyalo ednosvyrznanost e chisto topologichno ponyatie, koeto ni pomaga da izbegnem nepriyatnosti kato mnogoznachnost.
A sega kakvo e holomorphen klon. E, bi tryabvalo da znaesh che exp(x +2n\pi i)=exp(z). Taka che obratnite funkcii na exp se razlichavat s cyalo kratno na 2\pi i. (Tova razbira se ako predpolozhim neprekysnatost). ednoznachen klon na log(z) narichame funkciyata f(z) za koyato
exp(f(z))=z i f(z) e neprekyznata. Razbira se pri takiva obstoyatelstva, f se okazva i analitichna. (shtoto exp e)
Tiya neshta sa dobre obyasneni v knigata na T. Argirova "Teoriya na Analitichnite Funkcii". Tam shte namerish i definiciya na ednosvurzana oblast.
A inache log z mozhe da se definira i po drugi nachini. Ako se ne lyzha mozhem da go definirame kato reshenie na
df/dz=1/z, df/d(\bar z)=0. Poslednoto e prosto za da ni garantira analitichnostta. Ne znam dali tova e polezen metod v C. Za realnata prava ni dava
log(z) = \int_0^z 1/z dz (izvini me, ama polzvam LaTeX)
log(z) mozhe syshto da se definira i kato holomorphna funkcia, taka che ln|z| da i e realnata chast a imaginernata da harmonichno spregnata na ln|z|. Pone tova mozhe da se pravi lokalno. T.e. pri dadena harmonichna funkciya u, mozhem __lokalno__ da namerim v, taka che u+iv da e holomorphna.
Vsichko tova tryabva da te navezhda na misylta che log ima golemi problemi okolo nulata. Vsichki tezi definicii imat problemi ako z=0.
Poslednata formulirovka mozhe da se nameri v H.Cartan "Elementary Theory of holomorphic functions of one or several variables" (elementary e mnogo podvezhdashto).
Cartan syshto taka definira i log po oshte edin nachin, koito ne sym go sreshtal drugade. Purvo definira argument na z, chrez algebrichni ponyatiya kako dopulnitelen klas (koset) na 2\pi Z ili neshto podobno. Ne si spomnyam detailite.
E tova e.
S wavelets nikoga ne sum se zanimaval.
Boian
Отг: pi
Благодаря за информацията – полезна ми е.
Някои от тези неща ги пише в книгата на Рудин и когато ми остане време, ще ги разгледам.
Аз се заинтересувах на скоро от wavelets, понеже се прилагат за обработка на сигнали. Един wavelet е функция от която чрез мащабиране и транслации се поражда база от функции (за функционално п-во), че да служи после за приближения. Подобно е на Фурие, но когато приближаваме с wavelet функцията f, даден отделен коефициент (стоящ пред съответна базова функция от wavelet-а) не зависи от целия dom(f) а се изчислява от по-малки локални области, за разлика от Фурие. Практически задачата е да се построяват wavelet-и, ефективни при конкретна задача. Не съм ги изучил още, понеже нямам време, но са интересни за практиката.
Бойко
Някои от тези неща ги пише в книгата на Рудин и когато ми остане време, ще ги разгледам.
Аз се заинтересувах на скоро от wavelets, понеже се прилагат за обработка на сигнали. Един wavelet е функция от която чрез мащабиране и транслации се поражда база от функции (за функционално п-во), че да служи после за приближения. Подобно е на Фурие, но когато приближаваме с wavelet функцията f, даден отделен коефициент (стоящ пред съответна базова функция от wavelet-а) не зависи от целия dom(f) а се изчислява от по-малки локални области, за разлика от Фурие. Практически задачата е да се построяват wavelet-и, ефективни при конкретна задача. Не съм ги изучил още, понеже нямам време, но са интересни за практиката.
Бойко