Колко е средното разстояние?

.. между две произволни точки от вътрешността на квадрат 1х1?

Предполагам, че има някакъв хитър начин, а не просто пресмятаме интеграла и получаваме (2+sqrt(2)+5log(1+sqrt(2)))/15.

Ти да не би да сметна четворен интеграл от функцията за разстояние?

Няма хигър начин, "хитростите" са само в смятането на интегралите.

p.s. Отговорът е точно толкова. Поздрави

Това е първото което идва на ум, но интеграла се смята само ако имаш много свободно време. Малко по-лесно е ако смяташ очакването за разстоянието между две случайно избрани точки.

като го гледам тоя Log в отговора, мисля че няма как да има по-"хитър" начин от това да изкове човек интеграла...

Според мен задачата именно с това е интересна, че на пръв поглед изглежда елементарна.

Четворния интеграл може да се сведе до двоен, ако се премине в полярни координати. Гледах някъде в Ютуб такова решение.

[линк]

ID на клипа в youtube е i4VqXRRXi68

или [линк]

ако е този. Аз го загубих докато се пробвах, но изкачат и други резултати. има и за три точки в куб и т.н.
...

Мярнах го по-едно време и аз. Аз стигнаx до смятане на този интеграл.

sqrt(1+x^2)dx след опростяване. Пробвах wolframalpha, но четворния идва много за безплатната версия.

Но има редица други опростявания, които правят интеграла възможен за смятане, дадени в този клип. Незнам някой да смята вече интеграли на ръка, това се води работа за компютър вече, алгебрични системи и т.н.

Ето друг въпрос, най-кратък приближен отговор за този проблем.

За средното на квадрата на разстоянието отговорът е лесен.
4*1/12 или линейно sqrt(1/3) ~= 0.57

няма ли няква схема по средно и дисперсия на f(x) и g(x) да се сметне средно и дисперсия на f(g)? мен май веднъж много отдавна ми трябваше нещо такова и бях извеждал формули, които бачкаха. но може да са били приближени, демек да важат само за малки дисперсии или нещо такова, не си спомням.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Има, но формулите са кошмарни.

А това, което ти търсеше тогава, случайно видях как се прави.
Първо намираш обратната на функцията на разпределението (може и числен метод). После ти трябва случаен генератор на числа [0,1] с плоско разпределение. Генератора плюе число, ти го подаваш на обратната функция и voila! Имаш функция, която генерира числа с произволно нормализирано разпределение.

да, така е, със забележката че не разпределението, а интегрираното разпределение, замисли се и ще видиш че няма как да е разпределението, то няма еднозначна обратна функция.
не знам кога съм го търсил, може просто да съм показвал на някой колко фалшиво си мисли че е разбирач. тая задача много често ми се налага да я имплементирам и не ми е проблем, ползвам леко различна имплементация според това дали елементите са малко или много. за малко на брой елементи, най-бързия начин е избираш случайно число между 0 и 1, после почваш да сумираш вероятността на елементите, и когато сумата мине над случайното число, последния добавен елемент е твоя избор. за много на брой не е добре това, защото има линейна сложност, затова ползвам предварително сметнато интегрирано разпределение, и понеже е монотонно растяща функция, ползвам двоично търсене.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Това, което наричаш "интегрирана функция на разпределение" е всъщност функцията на разпределението (голямо Еф). Тя е монотонно растящата, и е еднозначно обратима. А другата, "камбановидната" е "плътност на разпределението" (малко Еф). Тя е еднозначно обратима само в частни случаи. Не че е от голямо значение де, терминологията на български е много шашава.

Аз бих направил същото като теб, само бих намерил първо обратната функция с някакво приближение, защото повече си падам по математическата част.