Нова задача

Четири града трябва да се свържат с пътища. След свързването от всеки трябва да може да се стигне до всеки по път, без значение дали ще се заобикаля и дали ще се наложи минаването през някой друг град. Четирите града са разположени по върховете на квадрат, на който едната страна е 100 км. Къде трябва да се положи асфалт, така че дължината на пътищата да е минимална?

Дължината на асфалта ли да е минимална? Или май друго се има предвид?

Дължината на пътищата.

Ей така предлагам:


Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

Имаш ли хубаво доказателство защо е минимален?

Доказателство имам, за хубост не гарантирам,
въпрос на вкус е все пак...

Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

Интересно, дори и с негарантирана хубост, как сте изпипали това решение.

Като изходна база взех решението за най-кратък път,
свързващ върховете на равнобедрен триъгълник.
Търсим минимум на функция:
f(x)=2*sqrt((0.5a)^2+x^2)+h-x
Означенията на са картинката.

(спестявам диференцирането)
Оказва се, че минимумът не зависи от "h" и се
получава x=1/(2*sqrt(3)). Точката може да се получи като
пресечница на лъчите, сключващи ъгъл 30 градуса при основата.
После прилагам това решение за два съседни върха и центъра
на квадрата, а после симетрично.

Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

Да, но този вид свързване не е единствено възможното (за 4-те точки), как ще покажеш, че точно то ще ни даде минимума?

Абсолютно правилна забележка. Не е единствено.
Просто по инженерни съображения прецених, че решението
трябва да е симетрично и да минава през центъра.
Строгото решение е за математици все пак...


Съкращавайте фразите до размера на мисъл. М.Вайсберг

Интересно, ако градовете бяха разположени по върховете на правилен петоъгълник как ли щеше да изглежда решението?

Знаех, че съм го виждал това преди. Най-забавното е, че решението може да бъде намерено със сапунен мехур така:



Тук видеото:
[линк]


Hello, my name is Inigo Montoya