Движение

Няма много движение тук. Някой има ли нещо интересно да изчислим?


Hello, my name is Inigo Montoya

Подкрепям.

Докато се намери нещо интересно за исчисление, ето нещо забавно. Едно кратко "доказателство" на теоремата на Хамилтон-Кели, която твърди, че всяка(квадратна) матрица е корен на характеристичния си полином.

"Доказателство": Характеристичният полином на А е p(t)=det(tI-A), където I е еденичната матрица.
Тогава p(A)=det(A*I-A)=det(A-A)=det(0)=0. Готово

Една практическа задача:

Пътешественици попаднали на непознато племе в Амазония. След като го опознали открили, че когато се роди момче, името което му давали го избирали по случаен начин от списък с имена, който не разкрили на пътешествениците. В селото, където попаднали нашите хора имало 50 мъже. От тях 6 имали едно и също име (нека да е "А"), по 4ма се казвали Б и В, по 3ма - Г, Д, Е, Ж, З, а измежду останалите нямало повтарящи се имена. Колко най-вероятно са мъжките имена в племето? Т.е. колко най-вероятно е дълъг списъка? За решилите я има и допълнително условие - да се определи с 90% доверителен интервал долната и горна граница на броя имена. Отдолу 5% и отгоре 5%.

Много интересно. Около 39 е, но симулацията дава резултати много бавно за да съм сигурен.


Hello, my name is Inigo Montoya

Каква симулация? Това е клуб "Математика"

Оказа се 40 отговора. Трябвало по-голям интервал да му дам да търси:




Hello, my name is Inigo Montoya

Аз го изкарах 38, [32,52]. Ти знаеш ли верния отговор?

Пуснах по-голяма сомулация и дава малко по-различни резултати, но пак е далече от 38:



По-близо е до 40. Ще пусна компютъра да цикли през нощта за повече.

По принцип аз го разписах, но тука да не се излагаме, че съм загубил тренинг. Ако се интересуваш, после ще ти пусна решението да го провериш де. Каква е тази твоя симулация, че звучи интересно.

През нощта е вървяла симулацията и картинката е такава:



Какво точно симулирам?
Проверявам случаите в които броя имена са между 33 и 46. За всеки брой имена раздавам случайно имена на 50 човека и гледам дали ше се случи разпределение:
[6,4,4,3,3,3,3,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

Броя всички случаи когато се е паднало такова разпределение на имена и картинката покава че има пик при 40.

Такова разпределение се пада много рядко, защото няма случаи едно име да е раздадено два пъти, което е много малко вероятно.

А публикувай как си го решил по математически начин, със сигирност ще е интересно.


Hello, my name is Inigo Montoya

Аз загубих формулата, ще трябав да я изведа отново.
Задачата я решавах преди две години по един друг повод.

Ок, хубава задача за раздвижване.

Поправям се, сега и аз получих отговор 40, а интервалът се получи като [34, 56].

Причината за грешката беше точността на сметките в OpenOfice Calc (също и в Excel), докато точният резултат се получава с Wolfram Alfa онлайн.

По-долу е решението:


Нека броят имена в списъка да е n. За 50-те мъже имаме 50 - 5 - 2*3 - 5*2 = 29 уникални имена. Оттук е ясно, че n >= 29.

Вероятността за търсената извадка е:

P(n) = C(n,29) * P1("Всички числа са сред 29-те") * P2("За 29-те извадката е точно от вида 6-4-4-3-3-3-3-3-1-1...")

В горния израз последната вероятност не се променя с n, докато първите 2 множителя се променят според n.

Имаме P1(n) = (29/n)^50.

Ако означим накратко R(n) = C(n,29) * P1(n), получаваме:

P(n) = R(n) * P2, където

R(n) = C(n,29) * (29/n)^50.

По принцип P2 е просто константа. Тя участва равноправно и не променя максимума или разпределението на вероятностната функция. Просто трябва да помним, че в горното означение R може да бъде по-голямо от 1.

Разглеждаме P(k+1) / P(k) = ((k+1)/(k-28)) / (1+1/k)^50 =

(1 + 29/(k-28)) / (1+1/k)^50 =

X / Y

Неравенството на Бернули ни дава Y = (1+1/k)^50 > 1+50/k

To:

Y - X > 50/k - 29/(k-28) = (50k -1400-29k) / (k*(k-28)) = 21(k-66.(6)) / (k*(k-28))

Значи при k >= 67 имаме Y > X и P(k+1) / P(k) със сигурност ще е по-малко от 1.

Стойностите от 29 до 66 (и по-нагоре с цел определяне интервала на сигурност) изчисляваме конкретно:

-----

k     X/Y         R(k)          Integral(R(k)) Cutoff on Integral(R(k))

29    5.507550      1.000000       1.000000    

30    3.008220      5.507550       6.507550    

31    2.180790     16.567922      23.075472    

32    1.771150     36.131159      59.206631    

33    1.528480     63.993702     123.200333    

34    1.369180     97.813093     221.013426    c/o 185.553548 (this row in conf. int.), k = 34

35    1.257420    133.923731     354.937157    

36    1.175300    168.398378     523.335535    

37    1.112880    197.918614     721.254149    

38    1.064180    220.259667     941.513816    

39    1.025410    234.395932    1175.909748    

40    0.994053    240.351933    1416.261681    Note: Max for R(k), k = 40

41    0.968354    238.922560    1655.184241    

42    0.947070    231.361617    1886.545857    

43    0.929288    219.115646    2105.661504    

44    0.914325    203.621541    2309.283044    

45    0.901660    186.176265    2495.459310    

46    0.890890    167.867691    2663.327001    

47    0.881696    149.551647    2812.878648    

48    0.873824    131.859089    2944.737738    

49    0.867071    115.221637    3059.959375    

50    0.861269    099.905340    3159.864714    

51    0.856283    086.045372    3245.910087    

52    0.851998    073.679189    3319.589276    

53    0.848319    062.774522    3382.363798    

54    0.845168    053.252820    3435.616618    

55    0.842476    045.007579    3480.624197    

56    0.840186    037.917805    3518.542002    c/o 3525.517412 (this row in conf. int.), k = 56

57    0.838249    031.858009    3550.400012    

58    0.836623    026.704944    3577.104956    

59    0.835271    022.341971    3599.446927    

60    0.834162    018.661600    3618.108527    

61    0.833269    015.566798    3633.675324    

62    0.832566    012.971330    3646.646654    

63    0.832033    010.799488    3657.446143    

64    0.831652     08.985531    3666.431673    

65    0.831406     07.472835    3673.904508    

66    0.831281     06.212959    3680.117467    

...

244   0.924484      0.000000    3711.070960    

245   0.924750      0.000000    3711.070960    

246   0.925014      0.000000    3711.070960    

247   0.925276      0.000000    3711.070960    

248   0.925536      0.000000    3711.070960    

249   0.925795      0.000000    3711.070960    

250   0.926051      0.000000    3711.070960    

...                

       винаги      намаляваща        

       под 1        

                   Sum:        

                   3711.070960        

                   For 5%:        

                    185.553548        

                   For 95%:        

                   3525.517412        

-----

Виждаме, че при k = 39 функцията P(k+1) / P(k) за последен път е по-голяма от 1.

Тогава P(n) достига най-високата си стойност при n = k+1 = 39+1 = 40.

Освен това по-горе встрани изчислихме 90% интервал на сигурност, който беше получен като [34, 56].

Ползвани източници:

[1] Изчисление нa Wolfram Alfa.
[2] Уикипедия, Bernoulli`s inequality.


Допълнение:

Каквa e площта под R(n) след n>250:

При n>250 имаме R(n) =
C(n,29) * (29/n)^50 =
(C(n,29)/n^29) * 29^50 / n^31 <
(C(250,29)/250^29) * 29^50 / n^31 <
(C(250,29)/250^29) * 29^50 / 250^29 / n^2 <
8*10^-29 / n^2

integral(const/x^2) от x0 до +безкрайност = const/x0

Тогава integral(R(n)) от 250 до +безкрайност <
integral(8*10^-29/x^2) от 250 до +безкрайност =
8*10^-29 / 250 <
10^-30

т.е. може да се пренебрегне.

Напомня решението на проблема P=NP.
P=0 или N=1

Ами да изчислим. Симпатична задача:
Намерете число, което като се запише два пъти последователно се получава точен квадрат.

Паньо ще я реши за 2 минути.

Не схванах. Сега, ще чакаме два месеца Паньо да дойде и да я реши, или ще наплюнчим молива и ще я решим сами за 20 мин.? Задачата не е трудна. И никак не е подходяща за тъпа компютърна проверка, ако това имаш предвид.

1/4, 1/9, 4/9, 25/36 и т.н. всяка обикновена дроб от вида a^2 / b^2

1/4 долепено до 1/4 е 11/44 = 1/4 = (1/2)^2

a^2 / b^2 долепено до a^2 / b^2 е 11 * a^2 / 11 * b^2 = (a/b)^2

Остроумно. Хайде сега да опитаме с естествени числа.
За да предотвратя други остроумия - естествени числа в десетичен вид.

Макар че ако се реши се решава за всяка бройна система.

А, това е друга задача. Сега ще я помисля и нея.