Олимпиада

Никой не пише за олимпиадата.

Ами дай нещо интересно..
Забелязъл съм, че имаш ..усет към интересни задачки.
п.п.
Един въпрос към тебе и други клубари(за да не отварям излишна тема)
Имаш функция :
1/sinx - 1/x, as x->0..и трябва да намериш границата, без да си чувал
за Лопитал.
Аз лично не успях да намеря някаква употреба на христоматийната
lim(sinx/x)( as x->0) =1.
Идеи?

lim(sinx/x)( as x->0) =1 означава, че при x->0 sinx=x.

1/sinx-1/x = 1/x-1/x = 0

lim(sinx/x)( as x->0) =1 означава, че при x->0 sinx=x.

1/sinx-1/x = 1/x-1/x = 0

Amazing! Neat and simple! Ingenious!

Regards

Ценя твоята инженерна изобретателност да замениш синуса с f(x)= х
при малки стойности на х.
Обаче това не ми върши много работа , освен че дава верния отговор.

Иначе повторното прилагане на правилото на Лопитал( по точно на Бернули,. който се продал на маркиза за жълти стинки...)
дава наистина 0 в числителя и различен от нула знаменател при х->0
Калкулаторът също е полезен..., ама искам да видя някакво прилагане на
правилата за намиране на граници плюс "специалната граница" lim sin/x=1(as x->0)

Интересно, нищо не ми идва на ум. Гледам, че досега никой не е дал решение, без Лопитал, може да не може. Но кой знае може да има някакъв трик. Ще я помисля.

Давай..че беше задача от финалния изпит на моята група в сряда.:)

О, и не се използва Лопитал! Да не би ти да си я дал и сега те е страх, че ще почнат да идват и да искат допълнителни точки и ...

Не съм я дал аз, ами координаторът на програмата по анализ, който е и шеф на катедрата.
Решил човекът финалния изпит да е един за всички 4 групи.
Беше допуснал и една доста смешна грешка за варианта на моята група.
Задачката беше следната.Тича някакъв щраус, висок... 40 фута към улична лампа, висока 10 фута.Скоростта му е постоянна(5 мили в час).
Трябва да се определи скоростта на края на сянката му.
Един от студентите ме пита, няма ли някаква грешка?
Аз отначало помислих, че го смущава доста нереалистичната височина на щрауса,
ама после той ми показа какво не е в ред.
Шефът тегли една мама му стара, когато му отговорих на въпроса как минал изпита с изложение на казуса по горе.
Иначе не е лош човек и добър математик, ама тази за двете дини под една мишница май си е казало думата.

Е, случва се. Тази за лампата и някой/нещо двежещ се, сигурно я има на всеки изпит във всеки университет.

по алгебрична топология , ако не се лъжа.
За есенния ми курс каза, няма да имате май кой да ви казва какво да ги учите.
Аз реагирах малко невнимателно....като проявих определена радост.
Не му хареса моят ентусизъм май.
п.п.
От задачите за свързани "скорости "(rates of change)
има по интересни.
Ама в този пусти Стюарт(твой любимец...)
има май много щрауси, параходи и балони.

Разглеждаме функцията
f(x) = 1/sin(x) - 1/x

Ще докажем, че за произволно t в интервала (0;pi()/4], е изпълнено неравенството
1-2/pi() >= f(2*t) > 2*f(t) > 0

В горния интервал е изпълнено за всяко х:
(1) х > sin(x)
(2) sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x) < 2*sin(x)

от (2) следва:
(3) 1/sin(2*x) > 1/(2*sin(x))

Образуваме разликата f(2*x) - 2*f(x):
(4) D = 1/sin(2*x) - 1/(2*x) - (2/sin(x) - 2/x)

От (3) следва, че D > 1/(2*sin(x)) - 1/(2*x) - (2/sin(x) - 2/x) = .... = 3*(x-sin(x))/(x*sin(x))

Знаменателят очевидно е положителен, а от (1) следва, че и числителят е положителен.
Получихме, че D > 0 за всяко х в горния интервал. Оттам следва, че е вярно следното:

1-2/pi() >= f(2*t) > 2*f(t)

За удобство го записваме така:

1-2/pi() >= f(t)/2 > f(t/2)

А прилагайки това неравенство N пъти получаваме:

1-2/pi() >= f(t)/2^N > f(t/2^N)

Очевидно когато N клони към безкрайност то f(t)/2^N клони към нула, а f(t/2^N) клони към f(0).

Т.е. f(0) = 0;

Тази линия що е такава къдрава?

1/x=1/sinx*sinx/x
lim(1/x)=lim(1/sinx)*lim(sinx/x). При x->0 lim(sinx/x)=1 => При x->0
lim(1/x)=lim(1/sinx)

Ако се сетя още някоя глупост ще я напиша

Тия дни нямам много време, но я помислих. Какво да кажа, добре, че не се явявам на изпит при теб, щеше да ме скъсаш.

А ти отскоро ли преподаваш, че имаш такъв ентусиазъм. Аз си мислех, че хората само се оплакват от преподаването и го приемат като неизбежно зло.

А, използвате ли уебсити, муудъл или там каквито щуротии има?

разглеждаме интервала за х (0,pi]

в тоя интервал е изпъленено
1) 0<=sinx<=1
2) sinx<=x (racetrack principle)

f(x)=1/x-1/sinx

от 2) следва, че f(x)<=0
от 1) следва, че f(x)*sinx<=f(x)

от там, f(x)*sinx<=f(x)<=0, sin(x)/x-1<=f(x)<=0

0<=lim[x->0+]f(x)<=0 (squeeze theorem)

f(-x)=-f(x) така че в интервала за х [-pi,0) имаме 0<=lim[x->0-]f(x)<=0 и готово.

"А ти отскоро ли преподаваш, че имаш такъв ентусиазъм. "

тоя коментар потвърждава тезата ми от съседната тема, че докторската степен не само не е необходима предпоставка за да си добър преподавател, а в някои случаи даже може и да е в минус - хората гледат да си човъркат интересния за тях рисърч и да пишат статии, а преподаването е "неизбежно зло".

в случая говорим за интро курсове по калкулус и разни подобни, за които не са необходими свръх задълбочени познания по математика - една магистратура е пре-достатъчна. професорът може да си витае из облаците и съвсем да не осъзнава кво толкоз не схващат от една елементарна епсилон-делта дефиниция тия невежи отсреща!

от 2) следва, че f(x)<=0 ДА
от 1) следва, че f(x)*sinx<=f(x) НЕ

верно деееба, завъртяха ми се едни минуси там. паршъл кредит

---------щраус, висок... 40 фута към улична лампа, висока 10 фута---------------
Какъв е проблема, обратно ли трябва да са?

Разбирам те, но не съм съгласен. Виждал съм хора които през чаените сбирки на факултета само се оплакват от студентите, как не могат дори да събират дроби, от учебниците, от програмата, материала, да не говорим за грейдването, през останалото време се скътават от приемни часове и гледак как да минимизират губенето на време т.е. неща свързани с преподаването, но като идат да преподават са майстори. По преценка на самите студентите. Защото разбират нещата. Естествено, че стпента не е гаранция, то в днешно време кой не е доктор, нито е необходима, човек може и да е добър без нея. Но като изклиучим крайните случай и погледнем масата преподаватели тези с докторантура са добрите. (лично мнение разбира се, ти не си съгласен с мен)