проблема за женитбата

Преди време ми попадна нещо, което ми се стори интересно въпреки, че е свързанo с вероятностите. Тези който обичат вероятностите може би са го виждали, но за останалите може да е интересно.

Ето проблема, оригиналния вариант е за избиране на мъж/жена но за да се избегне излишния драматизъм и опасност темата да се отклони в друга посока, го формулирам за избор на числа. Дадени са 100 листчета, на които са написани 100 различни числа. Числата могат да са големи, малки, положителни, отрицателни, цели или нецели, обещо взето всякакви реални числа са допустими. Задачата е следната, без да се гледат числата, човек започва да ги обръща едно по едно до момента в който прецени, че е намерил най-голямото. Като правилото е като се обърне листче трябва да се вземе решение дали това число е най-голямото или не. Ако се прецени че не е се минава към следващото слистче, но не може да се връща към вече отминати лисчета. Надявам се че е ясно, веднъж като се обърне 20-то листче човек може да каже това е най-голамото число или да продължи но не може да се връща към предишните 19 листчета.

Ако избора се прави случайно ще се познава веднъж на 100 пъти, целта е да се изработи стратегия която подобрява шансовете. Най-добре е да се правят някакви залагания за да е по интересно. Даже някакъв пич по време на някоя война бил спечелил много пари по този начин.

Ето един начин да се подобрят шансовете. Обръщащт се първите 50 листчета, като се помни най-голямото видяно число. След това продължават да се обръщат листчета докато се намри по-голямо число. Така се печели веднъж на 4 пъти т.е. 25% успеваемост, за разлика от случайната игра с успеваемост 1%. При това не зависи от броя на листчетата, трябва да се обернат половината от листчетата и след това до намирането на по-голямо.

Това естествено е елемнетарно да се съобрази. Там къдто го четох пишеше, че забравих-им-имената са доказали че оптималната стратегия е да се обърнат първите 37% от лисчетата, да се запомни най-голямото и да се продължи до намирането на по-голямо. Така се познава в 37% от случайте.

Това което ми беше интересно в статията е случая с две числа. Имаме две листчета с две числа. Обръщаме едно от тях и трябва да преценим дали то или другото е по-голямо. При случайна игра имаме 50% познаваемост. И на пръв поглед изглежда, че това няма как да се подобри. НО, това е интересното, оказва се, че (колкото и страно да изглежда) може да се играе с познаваемост по-голяма от 50%.

Естествено в статията имаше отговор и ако някой много държи ще му го кажа.

Предполагам че всичко това е добре известно, аз не го бях срещал до преди две седмици и ми се стори интересно за това го поствам тук.

Ха, тва последното не го вярвам твърде, за двете числа. Както и да го гледаш, задачата е симетрична, особено ако нямаш предварително инфо за разшределението на числата. Така че прати решението, любопитно ми е.
Обаче, за оригиналната задача имам вариант, понеже решението на оригинала е сравнително известно (пропускаш 1/е билетчета и фащаш първото по-голямо след това; печелиш с вероятност 1/е).
Та варианта е следния: Дава ни се право да играем на тая игра, като АКО изберем най-голямото число, печелим сумата написана на него (да приемем че играта е само с положителни числа). Та има ли разлика в решението? А ако участието в играта струва дадена сума? И въобще имат ли решение тия две задачи при неизвестно разпределение на сумите?

Да за 1/е е точно така, 37% за които писах е приблизително, идва от 1/е е приблизително 0.37.

За играта, която предлагаш не знам какво е известно. На мен нищо не ми беше известно до преди две седмици.

За двете карти мисля, че на всички първата реакция е такава. На бележка ли да ти го пратя?

не ми се вярва че за две карти ще има печеливша стратегия при неизвестно разпределение.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Първото решение, което ми хрумна увеличава вероятността да позная по-голямата от двете карти на 75%. То е следното:
Ако първата карта е по-голяма от 0 то избирам първата карта, ако, не втората. Симулацията ми показва че вероятността е доста близо до 75%.

Това явно ще важи в случая, когато нулата е в центъра на възможностите, ако центъра е друг избираме другия център. Ако не знаем кой е центъра пак избираме нула. Мисля, че по-добро решение от това няма да се намери.

(между другото пуснах симуалция на 100-те карти. Наистина има пик около 37 и пика е около 37)

ако знаем де е центъра на разпределението задачата със 100 карти нямаше да се решава по посочения двупасов начин, а стратегията щеше да е друга - за всяко теглене си смятаме праг(център,номер теглене) като ако изтеглената карта е над него спираме веднага.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

"между другото пуснах симуалция на 100-те карти. Наистина има пик около 37 и пика е около 37"

А при 50% от листчетата наистина ли е 25? Много измислена ми се струва тази 1/4 при положение, че при 37 е 37. Или "случайно" е 25.

Ето картинката при 5000 симулации за всяко число:



[линк]

При 50 карти е около 0.35.

Не знам, нещо не съм сигурен как ще сметнеш прага и тогава според теб ще надминеш ли максимума от 37% и с колко?

За обръщането на 50% от листчета не е нужна симулация, лесно е да се види. При такава стратегия се печели винаги когато най-голямата карата е във втората половина, а втората по големина карта е в първата половина. Възможностите за тези две карти да се падната в двете половини са 4, затова печелиш 1 на 4.

Хубаво, ето трика. Ситуацията е следната. Имаме две карти с две числа. Обръщаме една от тях и трябва да познаем дали числото което виждаме е по-голямото или това на другата карта е по-голямото. За да се подобри успеваемоста от 1/2 се прави следното(може да има и други решения, аз давам това от статията). Като се обърне първата карта, се изтегля случайно число по някакво разпределение, напримр нормално. Ако случайното число е по-голямо от това на картата се залага на другата карта, ако е по-малко се залага на тази карта. При това положение, ако случайно изтегленото число е извън интеревала определен от числата на двете карти, то не влиае на успеваемоста и в тези случаи е 1 от 2. Но ако е, в интервала, тогава познаваме със сигурност. Ако разпределението по което се изтегля случайното число дава ненулева веорятност за всеки интеревал, например гаусовото, това подобрява успеваемоста.

Естествено колкото са по-близки двете числа на двете карти толкова подобрението е по малко, но не е нула.

Учуди ме, че симулацията се разминава с теоретичните разсъждения и затова увеличих точността и си проверих алгоритъма:




Но няма грешка при мен, при 50 карти се печели приблизително при 34% от случаите. Чудех се къде е разминаването и виждам, чве ти изпускаш някои печеливши случаи. Това е случая когато и двете най-големи са във втората половина, а третата е в първата половина, но най-голямата е преди втората по-големина във втората половина. Затова и вероятността за печалба се вдига още.

Май има нужда от симулации понякога.

Да вярно, има повече печеливши ситуации. Това с 25% е само долна граница, а не както си мислех точно вероятноста за печалба. Сега би било интересно някой да го сметне точно, което изглежда че ще зависи от броя на картите.

Значи 50 отпада веднага - кой ще си играе с половината ергени/моми, като ще постигне същото с 1/4. Остава въпросът дали си струва за някакви си 2-3 процента да се занимава човек с 37 или да се ограничи с 25 (от 100 все пак).

е, ще ти трябва и дисперсията на разпределението
но щом имаш центъра, значи и дисперсията може да си измолиш. мисълта ми беше че задачата не бива да разчита на предварителни данни за разпределението.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

отваряме първата карта, и ако числото на нея ни изглежда малко, отваряме втората. по същество моя алгоритъм е частен случай на твоя, но помисли и ще видиш че е най-добрия частен случай.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Спомних си, че я има в книжката

"Петдесет занимателни вероятностни задачи с решения"
с автор Ф. Мостелер,
изд.: ДИ "Техника",
София 1975,
превод от англ. Р. Керемедчиева и Й. Стоянов

english: Frederick Mosteller,
"Fifty Challenging problems in probability with solutions",
Addison-Wesley publ. comp., 1965.

Става дума за задачи 47, 48, 49.

Е стига де, заблудата дори не е от най-трудните: Откъде следва че вероятността нормално разпределеното число да падне отляво или отдясно на интервала е една и съща? Въобще не вярвам на аргумента, да не говорим че той май имплицитно предполага мярка в пространството от вероятностните мерки.

Какво занчение има каква е вероятноста да се падне от ляво или от дясно? И къде се предполага мярка в пространството от вероятностни мерки?

Прав си че не се предполага да има мярка. Обаче защо мислиш че ако не е в интервала, то вероятността не се променя? Според мен, ако не е в интервала, то е по-вероятно да е от обратната страна на интервала (губим) отколкото да го прескочи (печелим).