интеграл

колеги може ли да напишете решение на следния итеграл:

I [( x*x - x)*arctg(x)] dx

Благодаря предварително

Интегрира се по части

\int (x^2-x)*arctg(x) \dx = \int arctg(x) \d ({1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2)=

=({1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2) arctg(x) -
- \int \дроб{числител: {1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2}{знаменател: x^2+1 } \dx =: J .

Полиномът {1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2 се дели с частно и остатък на x^2+1

{1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2 = (x^2+1)( {1 / 3} x - {1 / 2}) - ( {1 / 3} x - {1 / 2})

и следователно,

\дроб{числител: {1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2}{знаменател: x^2+1 } =
{1 / 3} x - {1 / 2} - {1 / 3}*{ x / ( x^2+1 )} + {1 / 2} {1 / ( x^2+1) } .


Решаването на интеграла продължава с
J = ({1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2) arctg(x) -
- {1 / 3} \int x \dx - {1 / 2} \int \dx - {1 / 3}*\int { x / ( x^2+1 )} \dx +
+ {1 / 2} \int {1 / ( x^2+1) } \dx =

({1 / 3} x^3 - {1 / 2} x^2) arctg(x) -
- {1 / 6} x^2 - {1 / 2} x - {1 / 6} \Ln ( x^2+1 ) +
+ {1 / 2} arctg(x) + const.