math

Колко е 1-вата производна на f(x) = x!

Ego praeferro ante vesper bibere aquam slivoevensem

Факториела е прекъсната функция. Тя е недефинирана за нецелочислени стойности, а в целочислените производната и ще е недефинирана.

Но непрекъснатата генерализация на факториела - Гама функцията, има първа производна.

така, ако разглеждаме функцията в големи мащаби ще изглежда гладка. тогава
f(x+dx)/f(x)=x^dx
ако бележим производната с F(x) то df=F(x)*dx
(f(x)+F(x)*dx)/f(x)=x^dx
1+F(x)*dx/f(x)=x^dx
F(x)=(x^dx-1)*f(x)
като отчетем че x^dx=(1+dx*ln(x))
получаваме:
F(x)=ln(x)*f(x)
следователно
dx!/dx= x!*ln(x)




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

баси кратката тема 2 поста и толкоз - всичко е казано ...

Урод си бате. Обаче това, че още не си милионер, показва колко си задръстен.

Ако човеко се окаже милионер, тогава пък ще е задръстен, понеже след като е успял да стане такъв и не е намерил начин да стане милиардер. Или?

A на теб от къде ти дойде на ум да питаш за тази дивотия? Не си ли учил в 11 клас как се дефинират производните?

Save the original.

>така, ако разглеждаме функцията в големи мащаби ще изглежда гладка. тогава
f(x+dx)/f(x)=x^dx >>

Това пък откъде e...

Нали df(x)/dx = lim( ( f(x+delta_x) - f(x))/delta_x, delta_x->0) на дадена функция...
Откъде идва равенството f(x+dx)/f(x) = x^dx?

Eто смятам с границите и не ми излиза формулата:
lim( (f(x+delta_x) - f(x))/delta_x, delta_x->0) = (f(x+ lim(delta_x, delta_x->0) - f(x))/lim(delta_x, delta_x->0) -> lim(delta_x, delta_x->0) := dx ->
(f(x+dx)-f(x))/dx=df(x)/dx => f(x+dx)-f(x)=df(x) => f(x+dx)=df(x)+f(x)

От тук замествам в твойта формула:
f(x+dx)/f(x) = (df(x)+f(x))/f(x) =>
1. f(x) != 0
=> df(x)/f(x) + 1 =? x^dx
... и тук се обърквам вече..

---
Its nice to be important, but its more important to be nice.

значи написах го на майтап, но днеска като го проверих се оказа доста близо до истината.
майтапа трябваше да се състои в следното - факториела не може да мине за гладък в никакви мащаби, понеже никъде нямаме приблизително еднакво нарастване при промяна на функцията с 1.
обаче днес реших все пак да видя как се изпълнява това което написах и за моя изненада резултата беше че наистина се държи като факториел.
пробвах следното:

	double dx=0.0001;

	double f=1;

	for(double x=N;x<N+1;x+=dx){

		f*=pow(x,dx);

	}

	printf("f=%f\n",f);

оказа се че f нараства N+0.5 пъти и производната и наистина е f*ln(x)
за да минава f точно през стойностите на факториела то трябва да нараства не N+0.5 пъти, а N+1 пъти, което се постига просто като се прибави 0.5 към аргумента, демек f*=pow(x+0.5,dx) . сега ще се пробвам да го реша с интегриране по части да видим дали може да излезе гладка функция за факториела




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

реших диференциалното уравнение по части и получих
e^(C-x-0.5)*(x+0.5)^(x+0.5)
сметнах константата С от условието за 1!=1
излиза С=-1.5*log(1.5)+1.5
заместих го и пробвах - наистина дава стойности много близки до факториел, но не достатъчно за double! макар и близки стойностите не съвпадат точно с факториела, предполагам заради грешното ми допускане че мултипикацията от N..N+1 дава N+0.5. сега като се замисля вероятно погрешно съм взел средно геометрично за средно аритметичното.
да, сега направих една сметка, точно това е. сега ще видим ново диференциално уравнение дали може да се спретне.




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

Ах тииии!
Значи си ме избудалкал!

---
Its nice to be important, but its more important to be nice.

Студентски виц от ония години:
Коя е първата производна на пиенето?
Количество празни бутилки, с които може да се купи количество празни бутилки.

Какво е голямо пиене?
Такова пиене, чиято седма производна е единица.

Bukvite.com
Проблемът не изчезва в мига, в който си изтървеш нервите.

само частично. иначе това f(x+dx)/f(x)=x^dx идва от това че два близки факториела на големи числа се отнасят както произведението на числата между тях, например 103!/100! = 103*102*101, което е приблизително 102^3




NE SUTOR ULTRA CREPIDAM

"Факториела е прекъсната функция." - опитай се да го докажеш :) ... аз бих казал само, че е дискретна ...
"Тя е недефинирана за нецелочислени стойности" - дори и за отрицателни целочислени е недефинирана.

Подобна задача, която е давал проф. Тагамлицки на изпит по "Инт. и диф. смятане".

Дадена е ф-я от изолирани точки - да кажем f(x)=x , където x = 1,2,3,4,5. (Не-)Прекъсната ли е тази ф-я?

Жокер 1 : тази функция f(x), както и факториелът са непрекъснати ...
Жокер 2 : независимо, коя дефиниция за непрекъснатост ще използваш, с редици клонящи към точката (Хайне) или епсилон/делта-Коши - можеш да разглеждаш само точки от дефиниционната област на съответната функция - за всички останали ф-ята е недефинирана, както сам си написал ...

И накрая - ако функцията има производна в дадена т., то тя е непрекъсната в нея, но това че ф-ята е непрекъсната в дадена т. не води непременно до това, че тя има производна в нея ... проблемът с тези функции е, че границата на диференчното им частно е неопределеност от вида 0/0 и затова нямат производни, въпреки, че са непрекъснати навсякъде в ДО.

Ако ползваш муле може да си свалиш "American Mathematical Monthly 1952 Vol. 059 No. 04.pdf" и да видиш какво става на стр. 222.

поздрави,
sunsande

Здрасти,

Има смисъл в това, което казваш. Сега започвам да се чудя може ли въобще да се дефинира производна на функция в някаква околноста, където функцията не е дефинирана за всички реални числа в тази околност?!

Стана ми интересно какво пише в тази статия, а емулето ми не иска да я намери нещо. Можеш ли да я сложих тук: [линк] и да дадеш линка?

Поздрави,
Паньо

Ами значи ако съм разбрал правилно въпросът ти ...

първо производна в околност е малко подвеждащо - имаме винаги производна в точка! Разбира се, за "хубавите" ф-ции, които са непрекъснати и гладки, и т.н. производната има общ аналитичен вид, но това съвсем не е необходимо за произволна ф-я.

По дефиниция производната на ф-ята в т. х е границата на диференчното частно. Ако има някакви (без)крайни на брой точки, в които ф-ята не е дефинирана това не ни пречи - взимаме най-близката, да кажем а, от тях до т. х и разглеждаме околности съдържащи се в |a-x|, там избираме редици от. т. клонящи към х и няма проблеми.
Сега ако недефинираните точки са някакво сложно безкрайно м-во, които не позволяват да използваме горния трик ... струва ми се, че тогава влизаме пак в случая с изолираните точки.

Не съм го обмислил 100% строго, но както и да е "надупчена" ДО, то ако можем да образуваме произволно малка околност на т. х "пълна" с други точки, то прилагаме стандартно дефиницията и търсим граница на диференчното частно. Това важи и дори ако можем да вземем така околност само "отляво" или "отдясно" на т.х.
Обаче ако "надупчването" е "много силно", т.е. то пречи да образуваме редица клоняща към х с т. от ДО, но различни от х, то х остава изолирана и действаме пак по дефиниция, но с оглед на това, че единствената сходяща редица от точки от ДО към х е само редицата:
х,х,х, ......... и нейната граница е х и границата на функционалните ст-ти е съвответно f(x).
Тогава производна в т. х няма, з-то границата на диференчното частно е 0/0.

Ще пробвам да кача файла и ще пиша къде е ...

поздрави,
sunsande

е достъпна на [линк].

Линковете ще бъдат активни 120 часа.
---------------

В статията има пример за съществуването на непрекъснати ф-ции без производни.

поздрави,
sunsande

За мое съжаление много късно видях този линк тук и вече не е активен. Една молбичка от мен, качете го на рапидшарката,

[линк]

или

[линк]

и дайте линк.
Там поне линковете са активни малко по-дълго време.
За rapidshare.com - 90 дни след последния download.
За rapidshare.de - 30 дни след последния download.