дистрибуция

K is fixed
random variables:
X1 = Uniform(0, K)
X2 = Uniform(0, K-X1)
X3 = Unifrom(0, K-X1-X2)
.....................................
Xn = Uniform(0, K-X1-X2-....-Xn-1)
Xn+1 = K - X1 - X2 -.......-Xn

така 4е очевидно X1+X2+....+Xn = K.

дефинираме Y = MAX(X1,X2,....,Xn+1), някой да има идея каква е дистрибуцията на Y и как да се намери?

Ne sum siguren koe kakvo e i kakvo tochno tursish no taka kakto go shavshtam, X1, X2, ... , Xn sa rastaiashti no definirani na po malki interevali. Xn+1 e pomaluk ot vsichki ostanali taka che Y e ravno na Xn v intervala [0,K-X1-...-Xn], na Xn-1 v interavala [K-X1-...-Xn,K-X1-...-Xn-1] i t.n. ravno e na K v [K-X1,K]. Taka che razpredelenieto(distribution) na Y shte e stapalovidna functsia vurhu tezi itervali i stoinostite mogat da se presmetnat, te sa 1/duljinata na suotvetnia interval.

нещо не съм сигурен че разборам твоя отговор. Х1 приема произволни стойности в интервала (0,К), Х2 приема произволни стойности в интервала (0, К-Х1) и т.н. Не е задължително нито да са растящи, нито намаляващи.
Y е максимума от (Х1,Х2,....,Хn).

Zanchi ne sum razbral kakvo e uniform(0,k). Az si misleh che uniform(a,b) e functsiata f(x)=1/(b-a) za x\in (a,b) i nula izvun. Kaji kakvo e?

трябваше май да напиша Х1 ~ Uniform(0,K) а не както съм писал Х1 = Uniform(0,K). X1 е random variable и приема стойност в интервала (0,К). дистрибуцията на Х1 е uniform. тва ще рече, че f(x) = 1/K е "плътност на вероятност" за Х1, тоест P(X1<x) = x/K (вероятността Х1 да приеме стойност по-малка от х, за някое х в интервала (0,К), е х/К).

[линк])

A za X2, kakvo oznachava? Tam intervala (0,K-X1) ima diasna granitsa zaviseshta ot x.

ами за Х2 и нататък е същото, само че както каза Х2 приема произволни стойности в интервала (0,К-Х1) със съответната плътност на вероятност 1/(К-Х1), така че Х2 зависи от Х1, Х3 зависи от Х1 и Х2 и т.н.

например, ако К=100:
1) Х1 = избери произволно реално число между 0 и 100.
да речем, излиза Х1 = 24.4536
2) Х2 = избери произволно реално число между 0 и 100-23.4536, тоест между 0 и 76.5464.
да речем, излиза Х2 = 57.000301
3) и така нататък

накрая имаме X1, Х2,....,Хn+1 такива че сумата им е К=100.
Y e най-голямото число от редицата Х1,Х2,....,Хn+1. пита се каква ли е дистрибуцията на Y? expeted value of Y? такива работи...

Kakvo oznachava intervala (0,k-X1),vse pak X1 e functsia.

emi da, intervala (0, K-X1) ne e konstanten a varira v zavisimost ot stoinostta koqto X1 priema, govorim za veroqtnosti vse pak. viz primera koito sam ti dal ot po-gore. X1 priema proizvolni stoinosti mezdu 0 i K. zna4i dqsnata granica na intervala na X2 e ravna na K-X1 i moze da priema stoinosti ot 0 do K sasto, v zavisimost ot X1.
zna4i ako K = 100, vednaz X1=23, da re4em, togava intervala na X2 e (0,77). Dryg pat X1 = 72, primerno, togava intervala na X2 e (0,28). i taka natatuk. nqma li smisal taka kakto go obqsnqvam?

Ооох, туй, дето си го измислил, е много сложно, уа! Отде ти се пръкна туй разпределение?

Аз се опитах да го сметна точно за малките n и ето какво излезе. За по-просто съм взел K=1, откъдето със съответните нормировки лесно може да се мине към общия случай.

За n=1 то си е очевадно, че Y ~ Uniform(0.5, 1).

За n=2 плътността на разпределението е следната:
f(Y)=0 (Y<1/3, Y>1)
f(Y)=(3Y-1)/(1-Y)+2ln(2Y/(1-Y)) (1/3<=Y<=1/2)
f(Y)=1-2lnY (1/2<=Y<=1)

Получава се, като се разгледат 3 четириъгълни области във фазовото пространство (X1, X2), в които съответно X1, X2, X3 имат най-голяма стойност от трите. За всяка от тях се интегрира в нужните граници разпределението на двумерната случайна величина (X1, X2), плътността на която очевидно е 1/(1-X1).

Плътността на разпределението на Y има максимум и точка на прекъсване на първата производна в Y=0.5.

За n=3 и нагоре става безобразно сложно. Мен ако питаш, Монте Карло му е майката. Чудя се, дали при много голямо n не може да се измъдри някоя асимптотична формула.

Вие имате ... слонче:



синьо N = 2
зелено N = 7
червено N = 15

К = 100 (по Х, няма значение за формата)
вертикалата не е важна като абсолютна стойност а само като форма

И така, имаме разпределение слон! Някой да каже формулата на слона, че не я знам.

Ако N клони към безкрайност аз няма да играя.

Че пусни повече натрупване, де, к'ви са тия рошави криви...
Сега се мъча да го сметна за n=3, но са големи сметки... двойни интеграли до пълно посиране. Ама нещо ми стана интересно, та току-виж съм го изкарал.
Може и да си прав, че при големи n нищо по-просто не може да излезе. Плътността на разпределението вероятно се описва с различни формули за интервалите [1/2, 1], [1/3, 1/2], [1/4, 1/3]... и т.н. Сега ще видя, дали е така за n=3. Иначе формулата ми за n=2 дава отлично съвпадение със симулацията.

Чалайте де! Аз ли съм нещо тъп, та не разбирам?! Ами всяко следващо число е по-малко от предишното, значи най-голямото е първото изтеглено число. Значи разпределението е uniform. Така излиза, че задачата е тривиална. Кажте ми, аз ли нещо съм недоразбрал, или какво?!

Щом си започнал за N=3 ето и съответната симулацията:



Ама да знаеш много ми затрудни компютъра, 15 минути го е изчислявал.

Направих малко проучване за дистрибуциите. Тук:


[линк]

По форма ми прилича на обърнати Weibull или Lognormal или Gamma.

Не, има разлика там във формулата, затова всяко следващо не е по-голямо от предишното.

Глеам пак фсички се занимават сьс симулации. А то не е толко трудно ако човек зафане директно общия случай. С малко сметки се стига до
F'(Y)=-1/Y^2+F(Y/(1-Y)),
Кьдето F е фунцкята на разпределение. Лесно се вижда, че за Y>0.5 F(Y)=-log(Y). По-нататьк се смета рекурсивно в интервалите (1/(N+1);1/N), като естествено интегралите бьрзо се скапват до степен да не могат да се сметнат.

PS
Естествено горенаписаното се отнася за N безкрайно. За крайни N лесно се извежда рекурсивна формула.

Е, симулацията служи за проверка...
Току-що сметнах, че за n=3 и Y>=1/2 плътността на разпределението е
f(Y)=1+(lnY)^2-lnY
Нямам нерви обаче да смятам за 1/4<=Y<1/2.

Би ли обяснил по-подробно, как извеждаш посочената зависимост за крайни/безкрайни n?

Не знам Недев, -log(Y) не ми прилича на слон.

не знам що толкова е изчислявал компютъра ти, аз с монте карло в ексел и за по-големи N нямах проблеми. до тва слонче и аз стигнах за да видя дали ще даде някаква идея. целта е обаче да стигна до аналитично решение, не да правя distribution fits на няква хистограма. но за големи N се замотават нещата аналитично както каза огнедишащия, ще трябва да видя в детайли кво има предвид недев обаче. изглежда обнадеждаващо понеже моята цел беше да правя логнормал фит така или иначе