analisi

Zdraveite!
Njakoj moge li da mi objasni metri4nite prostranstva?
Naprimer geom.predstavjane na B(x,y) za d=|x1-x2|+|y1-y2|

Да, с удоволствие


Метричното пространство е математическа абстракция. Имаш дадени множество M с някакви елементи a,b,c,... и изображение (функцията) d(a,b):M*M-->[0,+inf] (т.е. резултата на функцията е винаги неотрицателно реално число), наричана разстояние.
Тогава M е "метрично пространство" ако за изображението (функцията) d са изпълнение следните условия, наричани аксиоми на метричното пространство.
1. d(a,b) >= 0 - аксиома за неотрицателност, т.е. разстоянието между два елемента е винаги неотрицателно реално число.
2. d(a,b) = d(b,a) - аксиома за симетричност, т.е. разстоянието от елемент a до елемент b е винаги равно на разстоянието от елемент b до елемент a.
3. d(a,c) <= d(a,b) + d(b,c) - правило на триъгълника
4. d(a,b) = 0 <==> a == b - т.е. ако разстоянието между два елемента е нула, то те съвпадат и обратното.

(Между другото ако аксиома 4 не е изпълнена, тогава пространството се нарича псевдометрично, но това е друга тема)

Някои примери:

Ами ортонормираното векторно пространство R^3 с елементи а(Xa,Ya,Za), b(Xb,Yb,Zb), ... се превръща в метрично когато в него се въведе функция за разстояние.

Например обичайното Евклидово разтояние:
d(a,b) = sqrt( (Xa-Xb)^2 + (Ya-Yb)^2 + (Za-Zb)^2 )
превръща горното векторно пространство е Eвклидово.
Естествено съществъуват още много функции за разстояние, които не са евклидови.

Например обобщението:
dq(a,b) = ( |Xa-Xb|^q +|Ya-Yb|^q + |Za-Zb|^q ) ^ (1/q).

Евклидовото разстояние се получава при q=2 (бележи се с d2).
Примера, който ти си дала е при q=1 (d1).

При q-->+inf се доказва (с правило на Лопитал и граничен преход), че:
d(a,b) = max(Xa,Xb) + max(Ya,Yb) + max(Za,Zb).
(бележи се с dinf).

Разбира се съществуват и някои странни разстояния, например:

d(a,b)=
0, ако a == b
1, ако a != b.

То това разстояние така се и нарича - изродено .
Може сама да си провериш, че всички аксиоми са изпълнени.

Айде със здраве

Mersi mnogo za iz4erpatelnija otgovor
A kak se izobrazjava geometri4no?

Кое как се изобразява геометрично?!?

Та като пита това се сетих.

В d2 (в горните означения) единичната окръжност си е "нормалната" окръжност.

В d1 обаче, единичната окръжност изглежда като ромб, а в dinf като квадрат.

Mnogo mersi,
tova pitah,
a ako mi kage6 i za6to taka se izobrazjavat cena njama da ima6...

Ами тръгваш от определението за единична окръжност:
Геометрично място на точки, които са на разстояние 1 от началото на координатната система.

Сега имаш разстояние дефинирано така:
d=|x1-x2|+|y1-y2|

В първо квадрант само правата с уравнение y=-x+1 удовлетворява тези условия.
Това е правата която минава през точките (1,0) и (0,1). Сега като имаш предвид, че едната точка до която мериш разстоянието е (0,0), а другата е точка от правата - виждаш частта от единичната "окръжност" в първи квадрант.

По същия начин във втори, трети и четвърти квадрант са съответно правите:
y=+x-1
y=-x+1
y=-x-1

И така се получава ромбчето. Най-лесно ще бъде да си го начертаеш.

Mnoogo ti mersi!