Пак задача

Може ли някой да помогне със следната задача:

Нека A е множеството на всички комплексни числа от вида: r+sqrt(3)*s*i, където r и s са рационални числа, а i е имагинерната единица. Да се докаже, че същестува такова множество B от комплексни числа, че всяко комплексно число z (z != 0) може да се представи по единствен начин във вида:
z=a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn,
където a1, a2, ..., an са различни от нула числа на A, а b1, b2, ..., bn са от B.

Едно бележка:
от условието на задачата, което аз имам, не става ясно дали r и s са фиксирани или произволни рационални числа.

Една насока:
задачата е по теория на множествата.

Благодаря предварително.

ми вземаш В=С.... Нещо не разбирам. Иначе изглежда, че r i s могат да са произволни числа.

Това не е очевидно, но е логично - сигурно лесно бих го доказал, но едва ли ще ми признаят това за решение.
Предполагам, че се търси минимално такова.

Хммм, задачата е интересна,

Нека преобразуваме израза:
r + sqrt(3)*s*i =
= (1/2)*2*r + ( sqrt(3)/2 )*2*s*i =
= sqrt( (2r)^2 + (2s)^2) * ( cos( pi/3 ) + i*sin( pi/3 ) ) =
= 2*sqrt( r^2 + s^2 ) * ( cos( pi/3 ) + i*sin( pi/3 ) )

Очевидно това са числа лежащи на правата, която сключва 60 градуса с оста Re(z). За да се изразят всички комплексни числа, ни трябва права ортогонална на тази. Тя е тази която сключва с оста Re(z) ъгъл 150 градуса. Сега вече задачата се свежда до по-простата:
Дадено е множеството от числа от вида A = { a | 2*sqrt( r^2 + s^2 ), където r,s са рационални }. Да се намери такова множество B = { b | ... }, че всяко реално число да може да се представи по единствен начин във вида:
x = suma[k=1..n]( ak*bk ), където ak е от А, а bk е от B.

И тука вече зацепих.

Подскажете нататък!

Ами нека z da е комплексно число различно от нула. Тогава,
z=a1*(z/a1) и b1=z/a1 е някакво комплексно число. Затова не виждам какво му пречи на В да е цялото С.

Mnojestvoto ot chisla A={r+sqrt(3)*s*i | r,s - racionalni} e pole (t.e., e zatvoreno spriamo operaciite sybirane, umnojenie i delenie - zashto?). Poleto na kompleksnite chisla C e vektorno prostranstvo nad A (zashto?). Sledovatelno tyrsenoto mnojestvo B ne e nishto drugo sven bazis na C nad A (zashto?).

Syshtesvuva obshta teorema, che vsiako vektorno prostranstvo ima bazis (dokazva se s lemata na Tsorn).

I taka, zadachata e vsyshtnost zadacha po lineina algebra. Razbira se, poneje A e izbroimo mnojestvo, a C e s moshtnost na kontinuum, to B zadyljitelno triabva da e s moshtnost na kontinuum, t.e. C e bezkraino-merno vektorno prostranstvo nad A.

Аха... не съм видял единствеността. В този случай случаен е отговорил напълно.

Moje bi shte e polezno za niakoi da se dade i pylnoto reshenie na zadachata ne pozovavaiki se na lineina algebra, a samo na teoriata na mnojestvata. Vse pak se izpolzva i fakta, che mnojestvoto A e zatvoreno spriamo operaciite sybirane, izvajdane, umnojenie i delenie.

1. Da vyvedem mnojestvoto P ot tezi podmnojestva X na C* (mnojestvoto na nenulevite kompleksni chisla), za koito vsiako z ot C* ima ne poveche ot edno (a moje i da niama!) razlojenie z=a1.b1+...+an.bn, s nenulevi a1,...,an prinadlejashti na A i b1,...,bn - razlichni elementi prinadlejashti na X. Razbira se, predpolagame, che edinstvenostta e s tochnost do prenarejdane.

2. P e neprazno: {1} prinadleji na P.

Po-natatyk za P se prilaga lemata na Tsorn. Za pripomniane, tia glasi: vsiako chastichno naredeno mnojestvo v koeto vsiako lineino naredeno podmnojestvo ima gorna granica, pritejava maksimalen element. Izpolzvaneto na tazi lema e prakticheski ednoobrazno (po moi opit) i e dostatychno chovek go osvoi na edin primer.

I oshte edna zabelejka, ima razlika mejdu "maksimalen element" i "nai-goliam element": pyrvoto znachi, che elementa ne se majorira ot nikoi drug, a vtoroto, che elementa majorira vsichki.

3. I taka, P e chastichno naredeno po otnoshenie na relaciata 'vkliuchvane' i sega tvyrdim, che P izpylniava usloviata na lemata na Tsorn, t.e. vsiako lineino naredeno podmnojestvo P' na P ima gorna granica v P. Za da dokajem tova, da oznachim s X obedinenieto na vsichki elementi X' prinadlejashti na P' (tova e obedinenie na lineino naredena veriga ot mnojestva po otnoshenie na vkliuchvaneto!). Tvyrdim, che X e element na P: neka z e ot C* i da dopusnem, che ima 2 razlichni razlojenia z=a1.b1+...+an.bn i z=a1'.b1'+...+ am'.bm' ot jelania vid i v chastnost, b1,...,bn,b1',...,bm' sa ot X. Poneje X e obedinenie na lineino naredenata veriga P' ot mnojestva, to syshtestvuva element X" na P' sydyrjasht vsichki b1,...bn,b1',...,bm'. No togava za X", koeto e element na P (P' e podmnojestvo na P), se narushava definicionnoto svoistvo na P - protivorechie.

4. I taka, syglasno lemata na Tsorn v P ima maksimalen element B po otnoshenie na vkiuchvaneto (t.e., nikoi drug element na P ne go vkliuchva v sebe si). Tvyrdim, che B e jelatoto mnojestvo: po postroenie, za vsiako z ot C* ima ne poveche ot edno razlojenie z=a1.b1+...+an.bn. Ostava samo vyprosa za syshtestvuvane na takova razlojenie. Da dopusnem, che z e takova chislo ot C*, koeto ne pritejava nito edno razlojenie. Tvyrdim togava che obedinenieto na B s {z} e element na P, koito majorira B, a poslednoto, bi bilo v protivorechie s izbora na B. Za celta triabva da pokajem, che:
(a) z ne leji v B i,
(b) obedinenieto na B i {z} leji v P.

(a): ako z leji v B, to poneje 1 leji v A i z=1.z, poluchavame protivorechie s dopuskaneto, che z ne pritejava razlojenie.

(b): Zashto B obedineno s {z} leji v P? Neka w e ot C* i da dopusnem, che w ima dve razlojenia
w=a1.b1+...+an.bn+a.z,
w=a1'.b1'+...+am'.bm'+a'.z. Sledovatelno,
(a'-a).z=a1.b1+...+an*bn+(-a1').b1'+...+(-am').bm'.
Tyi kato A e zatvoreno spriamo sybirane i izvajdane, to mojem da privedem goria izraz do edin ot 2ta vida
(a'-a).z=0 ili (a'-a)*z=a1".b1"+...+ak".bk"
kydeto a1",...,ak" sa nenulevi elementi na A i b1",...,bk" sa razlichni elementi na B.
V pyrvia sluchai poluchavame, che a'=a, t.e., dvete razlojenia na w sa ednakvi, koeto protivorechi na dopuskaneto, che sa razlichni.
Vyv vtoria sluchai ima dva podsluchaia, ako a'-a ne e nula to a1/(a'-a),...,an/(a'-a),(-a1')/(a'-a),...,(-am')/(a'-a) sa elementi na A(!) i togava izliza, che z ima razlojenie - protivorechie s izbora na z.
Ako a=a', to triabva k>1 i togava
b1=(-a2"/a1").b2"+...+(-ak"/a1").bk",
koeto zaedno s b1=1.b1, pritivorechi na svoistvoto na B, kato element na P, da dava po ne poveche ot edno razlojenie za vseki element na C*.

I taka, niama myrdane ot protivorechia i B e jelanoto mnojestvo.