Сигурно е лесна ама...
3 отговора
192 прегледа
Сигурно е лесна ама...
Сигурно е лесно ама аз не мога да я реша.
"Основният ръб на правилна триъгълна пирамида MABC e a , a околният и ръб (a*sqrt21)/6 .През средата на основния ръб AB е прекарана равнина, която е успоредна на основния ръб BC , сключва ъгъл 'alpha' с равнината на основата ABC и пресича околния ръб BM .Определете вида на сечението и намерете лицето му.
Просто ми кажете каква е идеята.Ако искате можете да ползвате означенията от този чертеж. [линк]
"Основният ръб на правилна триъгълна пирамида MABC e a , a околният и ръб (a*sqrt21)/6 .През средата на основния ръб AB е прекарана равнина, която е успоредна на основния ръб BC , сключва ъгъл 'alpha' с равнината на основата ABC и пресича околния ръб BM .Определете вида на сечението и намерете лицето му.
Просто ми кажете каква е идеята.Ако искате можете да ползвате означенията от този чертеж. [линк]
Re: Сигурно е лесна ама...
ще се опитам да ти помогна, доколкото ограничените възможности на форума ми позволяват; ще използвам означенията от твоя чертеж (допускам, че с M1 си означил средата на BC)
относно сечението:
BC е успоредна на равнината на сечението, а то от своя страна пресича равнините (MBC) и (ABC) съответно в PN и P1N1; оттук директно следва, че BC || PN и BC || P1N1; от последните две неща непосредствено следва, че:
- PN || P1N1, т.е. сечението на равнината с пирамидата е трапецът N1P1PN
- тъй като P1 е средата на AB, то следователно и N1 е средата на AC
- очевидни са равенствата BP = CN и BP1 = CN1; те, заедно с това, че пирамидата е правилна, т.е. <P1BP = <N1CN, водят до еднаквостта на триъгълниците P1BP и N1CN, непосредствено следствие от което е, че PP1 = NN1
така, окончателно, сечението на равнината с пирамидата е равнобедреният трапец N1P1PN (N1P1 || NP, N1N = P1P)
относно ъгъла между сечението и равнината на основата: необходимо е да се докаже изрично кой е той!
от написаното вече по-горе, лесно се установява, че E и E1 са средите съответно на PN и P1N1; тогава, тъй като EE1 и M1E1 са перпендикулярни на N1P1 (ок?) и двете равнини се пресичат в N1P1, то тогава наистина <M1E1E = [alpha]
относно лицето на сечението:
- лицето на сечението (равнобедрения трапец) е S = EE1*(PN + P1N1)/2 (ok?); очевидно P1N1 = a/2, т.е. необходимо е да намерим останалите две отсечки, за да намерим и лицето на сечението
- от равностранния триъгълник ABC и равнобедрения триъгълник MBC непосредствено се намира, че AM1 = (a*sqrt{3})/2 и MM1 = (a*sqrt{3})/3
- разглеждаме триъгълникът AM1M, в който знаем трите страни, E1 - среда на AM1, и <M1E1E = [alpha]; това ни е достатъчно да определим дължината на EE1
- разглеждайки заедно триъгълниците MBC и AM1M и с помощта на подобни триъгълници определяме и дължината на PN
- сега вече може да намерим и търсеното лице; крайният резултат е малко сложен (съдържа степени, тригонометрични функции на различни ъгли, степени, дроби) и ще е съвсен неразбираем ако го напиша тук, така че ще го спестя
дано да съм бил ясен навсякъде
относно сечението:
BC е успоредна на равнината на сечението, а то от своя страна пресича равнините (MBC) и (ABC) съответно в PN и P1N1; оттук директно следва, че BC || PN и BC || P1N1; от последните две неща непосредствено следва, че:
- PN || P1N1, т.е. сечението на равнината с пирамидата е трапецът N1P1PN
- тъй като P1 е средата на AB, то следователно и N1 е средата на AC
- очевидни са равенствата BP = CN и BP1 = CN1; те, заедно с това, че пирамидата е правилна, т.е. <P1BP = <N1CN, водят до еднаквостта на триъгълниците P1BP и N1CN, непосредствено следствие от което е, че PP1 = NN1
така, окончателно, сечението на равнината с пирамидата е равнобедреният трапец N1P1PN (N1P1 || NP, N1N = P1P)
относно ъгъла между сечението и равнината на основата: необходимо е да се докаже изрично кой е той!
от написаното вече по-горе, лесно се установява, че E и E1 са средите съответно на PN и P1N1; тогава, тъй като EE1 и M1E1 са перпендикулярни на N1P1 (ок?) и двете равнини се пресичат в N1P1, то тогава наистина <M1E1E = [alpha]
относно лицето на сечението:
- лицето на сечението (равнобедрения трапец) е S = EE1*(PN + P1N1)/2 (ok?); очевидно P1N1 = a/2, т.е. необходимо е да намерим останалите две отсечки, за да намерим и лицето на сечението
- от равностранния триъгълник ABC и равнобедрения триъгълник MBC непосредствено се намира, че AM1 = (a*sqrt{3})/2 и MM1 = (a*sqrt{3})/3
- разглеждаме триъгълникът AM1M, в който знаем трите страни, E1 - среда на AM1, и <M1E1E = [alpha]; това ни е достатъчно да определим дължината на EE1
- разглеждайки заедно триъгълниците MBC и AM1M и с помощта на подобни триъгълници определяме и дължината на PN
- сега вече може да намерим и търсеното лице; крайният резултат е малко сложен (съдържа степени, тригонометрични функции на различни ъгли, степени, дроби) и ще е съвсен неразбираем ако го напиша тук, така че ще го спестя
дано да съм бил ясен навсякъде