Vupros

Abe niakoi znae li dali sushtestvuvat vectorni prostranstva, kudeto ne moze da bude definiran scalaren (dot) product?????
10x predvaritelno

Мисля, че въпросът ти е малко объркващ.

Ако под векторно пространство имаш предвид линейно такова - да има такива без векторно произведение.
Ако под векторно пространство имаш предвид евклидиви (унитарни) - не, няма такива без векторно произведение.

Просто при първите то не се споменава изобщо, а при вторите по определение присъства.

По определение евклидово (унитарно) пространство е линейно пространство със скаларно произведение. Еклидово - ако линейното пространство е над полето на реалните числа, унитарно - над полето на комплексните.

Emi az ne sum vuobshte vuv chass sus materiala i za da niama oburkvane eto kakvo izpolzvam za vector-no prostranstvo (mislia che imam predvid lineino vektorno prostranstvo):
Vektorno prostranstvo V pri pole F e mnozestvo V sus 2 operazii (subirane i scalarno umnozenie) takova che x+y e unikalen elemet vuv V (x, y sa vuv V), ax e vuv V (a e vuv F, x vuv V) i:
1) x+y = y+x za vsichki x,y vuv V
2) (x+y)+z = x+(y+z) za vsichki x, y, z vuv V
3) x+0 = x pri 0 i x vuv V
4) za vsiako x vuv V ima y takova che x+y = 0
5) za vsiako x vuv V 1x = x
6) (ab)x = a(bx)
7) a(x+y) = ax + ay
8) (a+b)x = ax+bx
kudeto a, b sa vuv F, x e vuv V

a ok, sega kato ti prochetoh postinga oshte vednuz mi stana iasno kakvo se opitvash da mi kazesh.
Az tochno pokrai evklidnite prostranstva se zachudih dali vuobshte ima vektorni prostranstva bez scalaren product. Ne znam az pone kakto gi uchih purvo se ucheha vektorni prostranstva kato zialo a posle i takiva deto sa evklidni. Vednuz si potah daskala po tozi vupros i toi kaza (kakvoto i ti mai se opitvash da mi kazesh) che ima niakoi prostranstva kudeto ne moze da se definira norm-a ili distanzia!

P.S: kum vsichki ostanali: Ne me biite che sum napisal otochnenie s o, burzah :)

Искам да отбележа нещо, понеже ми се стори, че има неяснота.
[Извинения, ако думите са ми излишни].

Векторно пространство е някаква обща конструкция (термин) от алгебрата. Ти си изписал напълно вярно аксиомите за тази абстрактна структура. Нали така?

Както сам виждаш, в определението дето си изписал никъде на се споменават думите "скаларно произведение". Заради това е очевидно да предположиш, че има векторни пространства без скаларно произведение, и си напълно прав.

Поради простата причина, че "скаларно произведение" е дефинирано само за векторни пространства над полето от реални числа R, и в частност за векторни пространства над полето от комплексни числа C (просто, защото R е под-множество на C и системата функционира).

Обаче R и C не са единствените полета. Има много други, над които можем да дефинираме векторни пространства. На практика, от всеки комутативен пръстен без делители на нулата, можем да построим съответното му поле - поле от частни - така както от целите числа N, построяваме пръстрена от рационални числа Q = {p/q: p и q цели числа и q различно от 0}.
Пръстени - дал господ. (Доказателство - филма "Властелина на пръстените" :)

След като може да има векторни пространства дето си нямат нищо общо с R и C, очевидно има векторни пространства без скаларно произведение - в тях това понятие просто няма смисъл.

Доказано.

---

Oстаналите термини дето се употребиха - норма и разтояние, т.е. метрика, са термини от топологията. На едно векторно пространство може и да му се наложи някаква топология, и тези термини може и да имат смисъл за него. Обече не е задължително .. в смисъл, че можем да изучаваме векторни пространства (и линейна алгебра) без изобщо да знаем за топология.

---

Въпрос.

Как се нарича подобна структура като векторно пространство, обаче дефинирана над произволен пръстен, който може и да не е поле?
Аксиомите са същите като изписаните по-горе, обаче R не е поле, ами произволен пръстен.
Що е то?

Mi ne e li modul?

Ne e viarno.
Skalarno proizvedenia moje da se definira nad kakvoto i da e pole.
Moje da se definira(po mnogo nachini) skalarno proizvedenie v vsiako lineino prostranstvo.
Naprimer ako V e n-merno nad poleto K togava devinirai proizvedenie chrez formulata
(a1,..,an).(b1,..,bn)=a1b1+...+anbn direktna proverka che aksiomite sa izpulneni.

Да, модул е.
Браво, явно си чел учебници по алгебра :)

OK,
обаче за какво става дума? Нали за скаларно произведение (dot product)?

Понеже въобще има разлика между "скаларно произведение (dot product)" и по-обобщеното понятие "вътрешно произведение (inner producr)". Натисни върху сините букви, и ще видиш дефиниции на тези термини, в един много удобен и полезен математически справочник.

Изобщо, скаларно произведение (dot product) се дефинира като реална функция (нарича се още функционал, понеже е линеен оператор с област от стойности в R) над векторно пространство V, т.е. (.,.) : VxV-->R, за което са изпълнени условията ...
... и от условията е ясно, че полето над което е дефиниранo V ако не е самото R, то трябва поне да съдържа в себе си изоморфно копие на R (R - реалните числа, изоморфизим - в алгебрическия смисъл на изоморфизъм между полета).

Не мисля, че си съвсем прав за Евклидовите пространства. Това са крайномерни векторни пространства, където метриката е зададена по обичайния начин.

Иначе във всяко реално векторно (линейно, това са взаимнозаменяеми термини) пространство може да се дефинира скаларно произведение. Вземаме един базис на това пространство и дефинираме скаларното произведение така, че този базис да е ортонормален.
В комплексния случай, трябва да се внимава малко.

Не само модул ами и ляв модул (щото умножението с елементи от пръстена е отляво). При некомутативните пръстени левите и десните модули не съвпадат.

Това не го разбрах напълно. Dot product е просто частен случай на inner product, nali?

Ами внимавай малко. Какво означава тогава условието (x,x)>0, oswen ako x=0.
Не за всяко поле можем да дефинираме положителни числа.

Това, което ти описваш е билинейна форма, т.е. функционал VxV->K, който е линеен спрямо двете променливи.

Нещата с нормата и разстоянието са малко по-тънки. Във всяко векторно пространство (дори във всяко множество) може да се дефинира разстояние:
d(x,y)=1, ако x <> y i d(x,x)=0.
Тогава нормата на x e prosto ||x||=d(x,0).
Друг е въпросът, че подобна дефиниция на разстояние е много рядко полезна. В почти всички случаи тя не се съгласува с дефиницията на отворени множества във векторното пространство, т.е. тя не се съгласува с топологията на пространството.

Преподавателят ти е много прав, че има много векторни пространства, където не може да се дефинира норма, която да се съгласува с топологията на пространството.

Ами аз именно това твърдя, че dot product е частен случай на inner product. И частността му се състои именно в това, че освен другите условия, също е и реална функция (т.е. функционал).

Формулата дето предложи Step става за inner product, обаче ако онова (което и де е) поле няма нищо общо с R, тогава сумата от произведения които е изписал ще е елемент на на онова поле, и няма да е реално число изобщо.

Още твърдя: за да се изпълнят останалите аксиоми за скаларно произведение (все едно за inner product) при условие, че желаем стойностите на произведението да са в R, тогава полето трябва да е R (или да съдържа негово изоморфно копие). Иначе аксиомите няма да сработят.

Вярвам, че е така понеже така съм го запомнил. И така ми се вижда като разсъждавам в момента. Скаларното произведение (dot product) нали е реална функция? За общия случай има друг термин - inner product.

Ако си на друго мнение, казвай!

OK,
ne biah mnogo precizen v uslovieto. Obache v komutativnia sluchai shtqhme da imame bi-modul.
Taka che vse edno - pitah principno.

Mnogo si podroben :)

Sorry,
Обърках се най на края.
Наистина онова за което говори Step е би-линейна форма. Изобщо не е inner product, понеже както ти каза, нyжно ни е неравенство > което може да не е дефинирано в произволно поле.
Ти беше прав :)