Малко въпросче
5 отговора
154 прегледа
Малко въпросче
Здравейте
В момента си уча за изпита по физика но имам малък проблем ( той е повече математичен де ). Става въпрос за затихващи трептения. Значи немога да реша диференциалното уравнение на затихващите трептения.
Като цяло нали имаме че еластичната сила е Fел = -k.x , а за силата на триене имаме Fт = -u.V = -u.(dx/dt) => движението на трептящата система се описва от уравнението:
m.d^2x/dt^2 + u.dx/dt + kx = 0 --> разделям на m
d^2x/dt^2 + (u/m).(dx/dt) + (k/m).x = 0
След това в учебниците които имам дават дирекното решение:
x = Ao.e^б.t.cos(wt + f)
Някой може ли да ми обясни как точно се стига до това решение
ПП: Вероятно може да ви се стори тъп въпроса, но ако някой има време и желане моля да помогне.
В момента си уча за изпита по физика но имам малък проблем ( той е повече математичен де ). Става въпрос за затихващи трептения. Значи немога да реша диференциалното уравнение на затихващите трептения.
Като цяло нали имаме че еластичната сила е Fел = -k.x , а за силата на триене имаме Fт = -u.V = -u.(dx/dt) => движението на трептящата система се описва от уравнението:
m.d^2x/dt^2 + u.dx/dt + kx = 0 --> разделям на m
d^2x/dt^2 + (u/m).(dx/dt) + (k/m).x = 0
След това в учебниците които имам дават дирекното решение:
x = Ao.e^б.t.cos(wt + f)
Някой може ли да ми обясни как точно се стига до това решение
ПП: Вероятно може да ви се стори тъп въпроса, но ако някой има време и желане моля да помогне.
Re: Малко въпросче
Когато си вземеш изпита по ММФ1-ОДУ ще разбереш защо решението на този клас уравнения е точно такова. За сега можеш да приемеш, че решението на уравнения от вида sum a_i (d^i/dx^i) y = 0 се търси във вида y = y0*exp(kx). Заместваш в диференциалното уравнение и получаваш алгебрично уравнение за k. Решаваш го и намираш общото решение на дифернциалното уравнение като линейна комбинация от решения с различни k (от различните решения на алгебричното уравнение).
В твоя случай: търсиш решене от вида x = x0*exp(omega*t). Заместваш
x0*omega^2*exp(omega*t) + (u/m)*x0*omega*exp(omega*t) + (k/m)*x0*exp(omega*t) = 0. Делиш двете страни на x0*exp(omega*t) и получаваш: omega^2 + (u/m)*omega + (k/m) = 0. Това диференциално уравнение има в общия случай комплексни корени. Ако коренът е чисто имагинерен, това съответства на осцилация с постоянна амплитуда. Ако коренът съдържа и реална част, тя съответства на затихване. Решаваш горното алгебрично уравнение, правиш линейна комбинация от двете решения и след елементарни тригонометрични преобразувания ще получиш израза за затихващото колебание. (Подсказка: използва се, че exp(i*x) = cos(x) + i*sin(x))
"Всички науки са или физика, или колекциониране на пощенски марки." (Е. Ръдърфорд)
В твоя случай: търсиш решене от вида x = x0*exp(omega*t). Заместваш
x0*omega^2*exp(omega*t) + (u/m)*x0*omega*exp(omega*t) + (k/m)*x0*exp(omega*t) = 0. Делиш двете страни на x0*exp(omega*t) и получаваш: omega^2 + (u/m)*omega + (k/m) = 0. Това диференциално уравнение има в общия случай комплексни корени. Ако коренът е чисто имагинерен, това съответства на осцилация с постоянна амплитуда. Ако коренът съдържа и реална част, тя съответства на затихване. Решаваш горното алгебрично уравнение, правиш линейна комбинация от двете решения и след елементарни тригонометрични преобразувания ще получиш израза за затихващото колебание. (Подсказка: използва се, че exp(i*x) = cos(x) + i*sin(x))
"Всички науки са или физика, или колекциониране на пощенски марки." (Е. Ръдърфорд)
Re: Малко въпросче
Ами пич, има разни методи за решаване на такова уравнение, ето един от тях:
Значи искаш да решиш уравнението:
x'' + a.x' + b.x = 0
Търсим решението като произведение на две функции:
x = u.v
Диференцираме:
x = u.v
x' = u'.v + u.v'
x'' = u''.v + 2.u'.v' + u.v''
Заместваме в уравнението:
u''.v + 2.u'.v' + u.v'' + a.(u'.v + u.v') + b.u.v = 0
или
u''.v + u'.(2.v' + a.v) + u.(v'' + a.v' + b.v) = 0
Сега следва номера :))
Тъй като u и v са произволни, можем да намалим този произвол като наложим някакви ограничения над v, например коефициентът пред u' да се нулира:
2.v' + a.v = 0
Това ти дава решение за v:
v = C.exp(-a.t/2)
Остава да намериш и u, за да е пълно щастието:
u''.v + u.(v'' + a.v' + b.v) = 0
Като заместиш тука намереното v, щастието се оказва пълно и се получава решение от типа:
u = c1.sin() + c2.cos()
Значи искаш да решиш уравнението:
x'' + a.x' + b.x = 0
Търсим решението като произведение на две функции:
x = u.v
Диференцираме:
x = u.v
x' = u'.v + u.v'
x'' = u''.v + 2.u'.v' + u.v''
Заместваме в уравнението:
u''.v + 2.u'.v' + u.v'' + a.(u'.v + u.v') + b.u.v = 0
или
u''.v + u'.(2.v' + a.v) + u.(v'' + a.v' + b.v) = 0
Сега следва номера :))
Тъй като u и v са произволни, можем да намалим този произвол като наложим някакви ограничения над v, например коефициентът пред u' да се нулира:
2.v' + a.v = 0
Това ти дава решение за v:
v = C.exp(-a.t/2)
Остава да намериш и u, за да е пълно щастието:
u''.v + u.(v'' + a.v' + b.v) = 0
Като заместиш тука намереното v, щастието се оказва пълно и се получава решение от типа:
u = c1.sin() + c2.cos()
в отговор на Mista_Bobo_Zan
#6
Re: Малко въпросче
Аре, аре, щото не се знаем в катедрата 
"Всички науки са или физика, или колекциониране на пощенски марки." (Е. Ръдърфорд)
"Всички науки са или физика, или колекциониране на пощенски марки." (Е. Ръдърфорд)