Центроид

Решавам задачи по аналитична геометрия и една направо ме разби. Бих искал някой да помогне, защото моето мнение е, че условието е грешно. Сигурно аз греша. А Вие как мислите.
Та ето и условието:

Да се докаже, че ако M е центроидът на системата точки A1,...,Ak; N - на системата точки Ak+1,...,An, а G - на системата A1,...,An, то G е центроидът на системата точки M и N.

За тези, които са забравили, ето определението за центроид:

Центроидът (или медицентър) на системата точки А1,...,Аn, n>=1, се нарича точка N от пространстово, за която е в сила векторното равенство:
MA1+...+MAn = 0 (MAi са вектори, а 0 е нулев вектор).
Също така за произволна точка O е в сила векторното равенство:
nOM=OA1+...+OAn (OM и OAi са вектори).

Та след като не можах да реша задачата започнах да разсъждавам по следния начин:
Какво знам - центроидът на една точка е самата тя; центроидът на две точки е точка лежащата върху отсечката определена от тях и е среда на същата отсечка; центроидът на три точки е медицентъра на триъгълника определен от тях.
Сега - нека имаме три точки, т.е. n=3 и k=1.
От една страна M=A1, а N е средата на отсечката А2А3, тогава G е среда на отсечката MN, т.е. |MG|:|MN|=|NG|:|MN|=1:2.
От друга страна G на триъгълника A1A2A3 е медицентъра, но за него имаме отношението |MG|:|MN|=2:3, |NG|:|MN|=1:3, |NG|:|MG|=1:2.

Нещо не е наред или в условието или в мен (по вероятно ).

Идеи?

и според мене не е вярно.
не проследих подробно разсъжденията ти с медицентъра, обаче съм убеден че ако дефиницията на центроид е такава, то тогава не може центроида на M и N да е центроид на системата.

Така както си го дал, условието не е съвсем вярно. Необходимо е М и N да са със съответните тегла. Значи тогава центърът на тежестта се дава от по
(w1+w2)*OG=w1*OM + w2*ON,
където w1 i w2 sa теглата на М и N съответно.

Във физиката този принцип се прилага при замяната на масивно тяло с масивна точка.