brainstorming

Uvajaemi gospoda matematici, naskoro popadnah na edna na pruv pogled suha i dosadna zadacha, no vsushtnost dulboko sum ubeden, che zaslujava vasheto vnimanie. A eto ia i neia:

'Dokajete, che za koi da e polojitelni a,b i c, za koito a*b*c=1, e viarno, che:
a/b + b/c + c/a >= a + b + c ".

Shte mi bude interesno i priatno da vida vashite reshenia. Ako jelaete, mojete da pishete na contemplator_forever@yahoo.co.uk . Ami derzaite...
P.S.:Zadachata e predlagana na slovashka i cheshka olimpiada.

Hey, priateli, kakvo stava? Az ochakvah tuk da buka ot mnenia po vuprosa. Ako neshto ne e iasno po uslovieto, moga da iziasnia, no mislia, che vsichko e tochno. Jelaia uspeh! I do utre po tova vreme da ste smetnali zadachkata!

az ne sum math. no mi e interesno kakvo e tvoeto reshenie. Bi li go spodelil?

Хайде от мен да мине, ще надмогна следпразничния мързел да напиша едно решенийце.

Коши-Буняковски за a/b i ab=1/c, b/c i bc=1/a, c/a i ac=1/b =>
(a/b+b/c+c/a)(1/c+1/a+1/b)=(a/b+b/c+c/a)(ab+bc+ac)>=(a+b+c)^2. (*)

Сега да забележим, че можем да приложим същото ако заместим a,b,c съответно с 1/b,1/c,1/a и така получаваме:
(a/b+b/c+c/a)(1/1/a+1/1/b+1/1/c)>=(1/a+1/b+1/c)^2 =>
(a/b+b/c+c/a)(a+b+c)>=(1/a+1/b+1/c)^2 (**)

Повдигаме (*) на квадраt, умножаваме с (**) и получаваме:
(a/b+b/c+c/a)^3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)^2>=(a+b+c)^4(1/a+1/b+1/c)^2

съкращаваме и вадим корен 3ти =>
(a/b+b/c+c/a)>=a+b+c

Ай наздраве!

Kolkoto i da mi e neudobno da go spodelia, nishto ne razbrah ot reshenieto, zashtoto ne sum chuval za Cauchy-Bunyakovsky i za tiahnata teorema ili kakvoto tam e. Ne moje li da predlojite niakoe po-prosto reshenie.

чак пък толкова...

Тъкмо повод на научиш нещо. Коши-Буняковски-Шварц гласи, че като имаш числа a1,a2,.....,an, b1,b2,....bn, то:

(a1^2+...an^2)(b1^2+....bn^2)>=(a1b1+a2b2+...anbn)^2.

Можеш да го докажеш с директно разкриване на скобите и групиране, така че да получиш точни квадрати от едната страна и 0 от другата... По-просто от това здраве му кажи. Можеш да го изпробваш в нашия случай за n=3.

Успех!

Hm, i az nishto ne razbiram. Taia teorema sigurno se uchi vuv VUZ.

Ами учи се в добрите гимназии или кръжоци по математика. Във вузовете се учи едно от нейните обобщения, което я прави сравнително тривиална. Позната е още и като неравенство на Коши-Шварц.