ЛААГ ??!?!?

Как е по-лесно да се започне?
първо Линейна Алгебра (матрици и т.н.) и после Аналитична Геометрия
или обратното?

на мен принципно всичко ми беше неясно, но напоследък започна да ми просветва малко по въпроса с намирането на детерминанти и що е то матрица и има ли тя почва изобщо в моите знания, така че повече ми харесва идеята първо ЛА и после АГ, обаче знае ли човек?

А Геометрията я чета и кимам с глава обаче нещо не схващам за какво става въпрос.


А уж всичко трябвало да се разбира интуитивно....

аз лично бих почнал от геометрията - за нея все пак човек има някаква визуална представа. но при други хора е точно обратното.

Nqma znachenie koe shte hvanish parvo.
Az sam gi uchil otdelno, no mai parvo uchehme lin. algebra

Повече зависи от качеството на преподаване. Иначе според мен поне е по-удачно алгебрата да е първа. Все пак първо се учиш да смяташ, пък после да анализираш. Геометрията все пак не е на ниво средни отсечки в триъгълник...

Ама изобщо какво ти пука, аз имам колеги които са стигнали до дипломна работа, ама имат да вземат ЛААГ и първи анализ... Втория забележи са си го взели.

Мечтата е мисъл, мисълта е идея, всяка идея се реализира. Аз не мечтая, а реализирам идеите си.

ami puka mi, zashtoto i az sega sym pak 4-ta godina (pak, zashtoto zatowa i trqbwa da dyrzha LAAG, prirawnitelen izpit :( )

wzela sym si do sega wsichki matematiki: diferencialni urawneniq, teoriq na weroqtnostite, abstraktna algebra, tra la la..az maj powecheto weche ne gi pomnq. I sega mi ostawa samo LAAG. i se mycha nad teq wektori i towa koeto chowek e uchil w uchilishte po matematika ne mi wyrshi rabota, che e bilo predi dosta godinki i ne go pomnq weche.

A inache wsichko go karam na samouchitel i kakwoto namerja w Internet na patagonski ezik. Na lekcii i uprazheniq ne moga da hodq. malko mi e dalechko Unito za tazi cel: prez 9 planini zad desetata ;)

mdam...
blagodarq na wsichki..az maj shte go karam pak s nahalstwo kym progres i shte shwana neshtata, kyde shte hodq *gg*

az davam 4astni uroci zapovqday. Vupros ot TU li si

brat4e po4ni s lineinata algebra shtot shti trqbvat determinanti za analiti4nata geometriq

Noe...w UNSS
ti w BG li si?
Stoto ako da , to ne mi wyrshi rabota.
Samo taka i ne mi stana qsno kakwo e lineen operator

Аз пък си мислих, че в УНСС само ви поакзват ченгелчета и ви казват, че това са интеграли...
Линеният оператор "взима функцията" и си я умножава по някаква константа и я събира с някакво число...
Нека f(x): x-->y принадлежащо на наякакво множество D
L: f(x)-->C1*f(x)+C2, където, C1 и C2 са реални числа
Tо имаш линеен оператор
пр. f(x)= exp(2*x) и нека С1=2,1 С2=1, то
L[f(x)]=2,1*exp(x)+1
Ясно? Е линейните оператори си имат някои свойства, но тах можеш да ги видиш във всеки учебник .
Има и разни други видове оператори, пр. На Лаплас, делта-та, градиент, тилда и прочие.

Да добавя по-общо,

че по същество Линеен Оператор е това, което е Хомеоморфизъм между подобни алгебрични структури. Което ще рече, такова изображение, дето запазва алгебричните операции.

// M(n, R) ////////////////////////////

В случая на пръстена от кавадратни матрици n*n над реалните числа M(n, R) имаме операциите А+B/A-B и умножението A*B. Допълнително имаме обратна матрица на A да я означим с 1/A, обаче не винаги дефинирано.

За да запазва операжиите един линеен оператор L е такова изображение L:M(n, R)->M(m, R) за което

(1) L(A+B) = L(A) + L(B) и аналогично за обратната на - операция L(A-B) = L(A)-L(B)
(2) L(A*B) = L(B) * L(B) и аналогично за обратната на * операция L(1/A) = 1/L(A)
Пръстена от матрици става алгебра (или модул) над реалните числа когато разглеждаме операцията умножение на константа по матрица (модулната операция) и тогава за реалната константа a ще се изисква за линейния оператор още
(3) L(a*A) = a * L(A)

// R^n //////////////////

За Евклидовите n-мерни векторни пространства над реални числа R^n линейния оператопр L:R^n --> R^m е такъв който запазва векторните операции +/- и умножението по скалар. Следователно за линеен оператор в евклидово пространство ще имаме

(1) L(u + v) = L(u) + L(v),
(2) L(a * v) = a * L(v),

където 'u' и 'v' sa вектори в R^n, L(u), L(v) са вектори в R^m, и 'a' е реално число.

Оказва се, че линейните оператори L:R^n-->R^m се изчерпват от всевъзможните реални матрици с размер m*n. А пък примерно твърдите ротации около центъра на евклидовото пространство R^n се изчерпват от матриците n*n който имат обратна транспонираната и чиито детерминанти са 1. Групата от тези матрици се означава с SО(n, R) и се нарича специална ортогонална група (груповата операция е умножение между матрици). Тази група SО(n, R) е подгрупа на групата от автомормизми за R^n.


Поздрави,
/b33

Оператора L дето си го дал за пример не е линеен.
Оператора на Лаплас е линеен, същото важи и за градиента. А какво е оператор тилда? Или пък делта? Има ли оператор дзета?

хомеОморфизъм имаш м/у топологични пространства. В случая си искал да кажеш хомОморфизъм, или изоморфизъм.

а, сгафих! Ох, математико, майчице, защо си създала математичската теория...
Тъй, делта - доста просто делта[f(х)]=f(x2)-f(x1), без да пускаш нищо да клони към нула
I pak sgafih!!!! Не исках да пиша за тилда, а за набла (обърнато делта голямо) Може би пак бъркам..., наблата трябва да е скаларното поризведение на градиента по себе си
Не знам цялата грътцка азбука да е операторна, но имам вяра в математиците от алфа до омега, а ако не им стигне да си измислят нова (азбука)

Ми то значи всички примери са на линейни оператори. Изключая L.

Да Boian,
напълно си прав за термина. Ако трябва да съм честен, ще призная че не правех до сега разлика, ами си го мислих все едно - различен спелинг. А винаги ми е било чудно как в топологията се дефинира хомеОморфизъм, което от алгебричната терминология по-подходящо би било да бъде ИЗОморфизъм. Явно има разлика, и тя е от значение.

Понеже е известно че разбираш,
погледни по-критично и на останалото ми обяснение за линеен оператор. Да не би този термин "линеен оператор" да се ползва само за алгебрични структури гледани като векторни пространства? Защото например R^n може да е векторно пространство, но можем да гледаме на него и като алгебра ако приемем освен векторната операция + също и векторното умножение (дето е нилпотентно).

Казаха тука за линейните оператори <делта> и <набла> а те са такива, понеже така пише в учебника, но аз не зная защо. Дали защото са линейни оператори в, примерно, Хилбертово пространство явяващо се векторно от алгебрична гледна точка.

Като пример, в една книга да казват за диферинциален оператор D(p(x)) над пръстена от полиноми над поле .. да речем полето Q от рационални числа. Тук p'(x) = D(p(x)) е обикновеннатта производна на полинома p(x) и е спазена идеята D да е хомоморфизъм (в случая това е ендоморфизъм), понеже за векторната операция е изпълнено D(p(x) + q(x)) = D(p(x)) + D(q(x)) и за умножението по скалар също имаме D(a*p(x)) = a * D(p(x)).

Та да се върнем на моите въпросъ. (1) Дали термина "линеен оператор" се ползва само за хомоморфизъм между векторни пространства? (2) Защо онези оператори <делта> и <набле> които физиците много ползват, се наричат "линейни"?


Поздрави,
/b33

Sto ne kazhete prosto, che towa e Funkciq, no w edno Linejno ili Wektorno Prostranstwo

Zashtoto towa, koeto go pisahte mi pishe i w Uchebnika, obache pak ne mi stana qsno, dokato ne prochetoh w diwersni materiali, che operator i funkciq e edno i syshto prosto s razlichni nazwaniq, che da stawa qsno koe za kakwo e

wypreki towa blagodarq! Inache nqmashe da se ambiciram tolkowa mnogo da shwana tezi neshta.

chowek prosto ne trqbwa da se predawa.

Ima li nqkoj na kogoto da moga da se obadq po telefona i da go pitam po wyprosi LAAG ako pak zakysam (kogato pak)?
maksimum do 10 septemwri

moqt email e:
[email protected]

Mislia, che ima razlika - lineiniat operator e funkcia s def oblast i funkcionalno mnojestvo - vektorni prostranstva, a obiknovenata funkcia - tova sa chislovi mnojestva.

Ne se bezpokoite za termina funkcia, ponezje terminite Funkcia, Izobrazenie, Morfizum sa sinonuimi v matematikata.

Ta lineinia operator e izobrazenie (funkcia) mezdu vektorni prostranstva L:V-->V' no vazjnoto e che <zapazva> operaciite na vektornoto prostranstvo: suma na vektori i imnozenie sus skalar -- L(u + v) = L(u) + L(v) i L(a*v) = a*L(v) kudeto u i v sa vektori, a e skalar. Ne kakva da e funkcia, ami takava s izbroenite svoistva. Tova e vazjnoto -- <zapazva> operaciite i preobrazuva (izobraziava) edno vektorno prostranstwo V vuv drugoto vektorno prostranstvo Image(L) = L(V) <= V'.

Sushto drugoto vazhno neshto e, che na vseki takuv operatot L:V-->V' suotvetstwa nqkoq matrica M s razmer m*n nad skalarite kudeto m=dim(V') e razmera na V', a n=dim(V) e razmera na V. Da prilozjish lineeon operator kum vektor, L(v), e vse edno da umnozjish vektora po suotwetnata na linejnia operator matrica, M * v.

Tova e nai vazjnoto i go pishe vuv vsichki uchebnici po lineina algebra. Imenno zaradi tova uchebnicite po lineina algebra se zanimavat izkluchitelno s vektori i matrici.

Pozdravi,
/b33
Sorry za latinicata, no nqmam kirilica v momenta.

Не е съвсем така.

1. В чисто логически път, функция f:X->Y, където X i Y са произволни множества се отъждествява с подмножество F на декартовото произведение XxY с изискването, че ако (x,y0) i (x,y1) i dvete prinadlezhat na F, to y0=y1. Това е просто "по-сложен" начин да кажем, че на определен елемент x ot X, funkciqta sypostqwq tochno edin element y ot Y. Често в този контекст функция и изображение са едно и също нещо. Понякога, обаче, изображение е просто подмножество на XxY. Също така е прието да се подразбира, че за всяко x ot X, имаме определено число f(x), т.е., Х е дефиниционното множество на функцията. Тук е момента да се отбележи, че дори и привидно f да се задава с една и съща формула, ако дефиниционното множество е различно, то това са различни функции. Naprimer, f:R -> R s f(x)=x^2 e razlichna ot funkciqta g:[o,\infty) -> R s g(x)=x^2. Eдната е обратима, а другата не е.

2. Морфизъм е понятие от теорията на категориите. В понятието се влагат различна информация. Можем да считаме, че морфизмът е функсия с определени свойства. Не е просто синоним на функция.

3. В анализа често се прави разлика м/у функция и изображение. Функция е изображение в реалните/комплексмните числа. Изображението може да от С^к в С^м , за произволни к и м.

4. В областта на функционалния анализ се разглеждат и понятията оператор и функционал. Оператор е изображение от едно векторно/банахово//хилбертово и др. пространства в пак векторно/банахово... пространство. За функционал говорим, ако изображението е в полето на скаларите.

Разбира се хилбертовите пространства са банахови, които от своя страна са и векторни пространства.

5 Вярно е , че в случая на крайномерни пространства всеки линеен оператор може да да се представи с матрица,. Това е важна теорема. Това представяне зависи от избора на базис на тези пространства, който изобщо не е каноничен. В безкрайномерните пространства също може да се говори за базис, но нещата там стават доста по-засукани и в повечето случаи само усложняват теорията. Повечето от теоримите в безкрайномоерния случай се доказват без да се стига до представяне във векторен базис. (В забележка, това е разлилчно понятие от ортогонален базис в хилбертово пространство...).

Boian, kakvo ne e suvsem taka?

Ne e viarno che
>>>> Понякога, обаче, изображение е просто подмножество на XxY
Proizwolno (izobshto) podmnovestco na XxY se naricha "binarna relacia", dokato izobrajenie si e funkcia, t.e. trqbva da e ednoznachno opredeleno.

Tova deto govorish malko go izbiva na spekulacia, i triabva da sum ti obiden!

Drun, drun! Che imalo razlika mezhdu poniatiata Function i Morphism, Map, ako shtesh Transformtion, Preobrazuvanie i t.n. Vsicko si e vse edno i oznachava tochno kakto si go kazal, ednoznachno opredeleno (ne-zadylzitelno obratimo) syotvetstwie mezdu elementite na dve mnozestva. Nishto poveche.

Kogato iskame da utochnim neshto slagame epiteti, ili prefiksi kato Homo-, Iso-, Epi-, Mono- i t.n. Ima dazhe razlicni zargoni jargoni: naprimer epi-morphism == surection, mono-morphism == injection.

Ne e nuzno da obiasniavam tuk, poneze triabva da e iasno i vseki go znae.

Regards,
/b33

BTW, dostatuchno sum vesht v teoria na categoriite i v teoria na mnozhestvata, .. i tova sum vidial da pishe tam.