Безкрайност?
36 отговора
1203 прегледа
Приятелю, нещата наистина клонят към философски
обяснения. За нулата и безкрайността няма да намериш примери.
Ако сложа на масата един предмет ще добиеш визуална представа за числота 1, ако добавя още един предмет ще разбереш за числото 2.
А, какво да сложа на масата да разбереш какво е НУЛА? Как да ти покажа БЕЗКРАЙНОСТ?
Мдааа, нещата опират до Господ ! Не се бъзикам. Имам предвид Господ като явление, за което нямаме сетива и не можем да си го обясним... Мдааа, спирам, защото усещам, че започвам да дрънкам глупости.
Ако сложа на масата един предмет ще добиеш визуална представа за числота 1, ако добавя още един предмет ще разбереш за числото 2.
А, какво да сложа на масата да разбереш какво е НУЛА? Как да ти покажа БЕЗКРАЙНОСТ?
Мдааа, нещата опират до Господ ! Не се бъзикам. Имам предвид Господ като явление, за което нямаме сетива и не можем да си го обясним... Мдааа, спирам, защото усещам, че започвам да дрънкам глупости.
Re: Безкрайност?
Parvo za googol (taka e chisloto). Chislata po-golemi ot 1 000 000 niamat obshtoprieti imena. Za tova se izpolzva naucha notatzia. Niakoi si izmislil 10^100 da se naricha googol. Za _prakticheski_ tzeli se izpolzvat mnogo po-golemi chisla, a za matematikata googol-a ne e s nishto po-razlichno ot koe da e drugo chislo.
Vtoro za parvia ti post.
Bezkrainost
---------------- = neshto si ...
Bezkrainost
e bezsmisleno. Neformalno kazvame bezkrainost/bezkrainost, kogato se smiata granitza na f(x)/g(x) i f(x) i g(x) narastvat (ili namalyavat) neogranicheno. Tova ne e chastno na bezkrainosti. Tova pokazva kak edno chastno shte stava vse po-blizko do niakakva granitza, kato chislitelia i znamenatelia se uvelichavat neogranicheno.
Vtoro za parvia ti post.
Bezkrainost
---------------- = neshto si ...
Bezkrainost
e bezsmisleno. Neformalno kazvame bezkrainost/bezkrainost, kogato se smiata granitza na f(x)/g(x) i f(x) i g(x) narastvat (ili namalyavat) neogranicheno. Tova ne e chastno na bezkrainosti. Tova pokazva kak edno chastno shte stava vse po-blizko do niakakva granitza, kato chislitelia i znamenatelia se uvelichavat neogranicheno.
Re: Безкрайност?
Ами най-голямо число няма. гугол е мисля нещо като 100^100. Е да вземем тогава гугол^гугол.
Ако питаш за безкрайността, т.е. използваш пълен член, предполагаш, че има една единствена безкрайност. Това не е вярно. Има много, и все ралични, понятия за безкрайност. Има и различни степени на безкрайност. Това обаче не са редици. Когато в анализа казваме, че нещо клони към безкрайност, имаме предвид, че каквото и реално число да вземем, след известно време това нещо ще е по-голямо от него. Това съвсем не означава, че да кажем редицата или функцията се стремят към число. Дори когато пишем 1/0=безкрайност, имаме в предвид там разни граници.
Ако питаш за безкрайността, т.е. използваш пълен член, предполагаш, че има една единствена безкрайност. Това не е вярно. Има много, и все ралични, понятия за безкрайност. Има и различни степени на безкрайност. Това обаче не са редици. Когато в анализа казваме, че нещо клони към безкрайност, имаме предвид, че каквото и реално число да вземем, след известно време това нещо ще е по-голямо от него. Това съвсем не означава, че да кажем редицата или функцията се стремят към число. Дори когато пишем 1/0=безкрайност, имаме в предвид там разни граници.
Re: Безкрайност?
вече копроцесорите не квичат когато се дели на нула, получава се резултат който е запазен като безктайност. при сравнение с друго число дава винаги истина. само че такава операция е доста по-бавна и има неприятното свойство да е заразна. ако имаш да речем някакъв прост рекурсивен цифров филтър:
x=(xn-x)*k
то само някъде да настъпиш котето, нататък няма измъкване. е, по-добре е от изхвърляне от програмата.
но при целочисленно делене на нула още бие през ръцете.
x=(xn-x)*k
то само някъде да настъпиш котето, нататък няма измъкване. е, по-добре е от изхвърляне от програмата.
но при целочисленно делене на нула още бие през ръцете.
Re: Безкрайност?
Bezkrainost ne e chislo, opredeleno!
И аз зная същото; подобни изрази "безкрайност/безкрайност", "0/0" се срещат в анализа, но както се каза винаги става дума, че числителя и знаменателя са някакви граници .. и евентуално се опитваме да разрешим кое от двете клони по-бързо, за да разрешим границата - ако не може, казваме че е "не определено".
Има и една теория - NSA (non-standard analysis), сравнително нова .. ама от преди 40 години. Въведено е от Абрахам Робинсон. В нея има такова едно безкрайно голямо число, ОМЕГА, чието обратно омега=1/ОМЕГА е пък безкрайно малко. И може да смятаме алгебрически правилно X = ОМЕГА/3 + 5 и т.н.
Обаче и в тази теория, примерно 5/0, не е определено. Да не си мисли някой, че разбирам нещо по въпроса. Преди години разлиствах една книга от един американец, който имаше амбиции да преподава NSA на студенти, и да измести класическия анализ. Май не е сполучил много, иначе да сме чули.
Само съм мяркал тази теория в книги по логика. Робинсон (Abraham Robinson - еврейн) заедно с Тарски (A. Tarski - поляк) се смятат за основатели на теория на моделите. Много се цитират в текстовете по логика.
Между другото, във веб-страницата на H. J. Keisler, който е признат в логиката и теория на моделите, се казва че си падал много по NSA :) И този Кейслер работи в университета Медисън, Уинсконсин. Може би с Boian са се разминавали в коридорите на университета :)
Поздрави,
/b33
P.S.
Tazi teoriq NSA ne promenia neshtata principno za sega. Teoriata si e suvsem viarna, otnowo 5/0 ne e opredeleno, granicite i integralite rabotiat kakto se ochakva. Obache vse oshte ne namira miasto v konvencialnata matematika. Istoricheski oshte Leibnitz e govoril za "bezkraino-malki" che da obiasni diferencialnoto smiatane. Ne e moglo da stane po negovo vreme. Tova e bilo v srednovekevoieto, a po-kysno e bilo izmesteno ot tehnikata epsilon-delta na Waiershtras i Coshi. Moje bi sled oshte 100 godini nasheto pokolenie shte uchi NSA v universiteta, dokato hvurchi iz kosmosa do nedostijimite za sega zwezdi :)
И аз зная същото; подобни изрази "безкрайност/безкрайност", "0/0" се срещат в анализа, но както се каза винаги става дума, че числителя и знаменателя са някакви граници .. и евентуално се опитваме да разрешим кое от двете клони по-бързо, за да разрешим границата - ако не може, казваме че е "не определено".
Има и една теория - NSA (non-standard analysis), сравнително нова .. ама от преди 40 години. Въведено е от Абрахам Робинсон. В нея има такова едно безкрайно голямо число, ОМЕГА, чието обратно омега=1/ОМЕГА е пък безкрайно малко. И може да смятаме алгебрически правилно X = ОМЕГА/3 + 5 и т.н.
Обаче и в тази теория, примерно 5/0, не е определено. Да не си мисли някой, че разбирам нещо по въпроса. Преди години разлиствах една книга от един американец, който имаше амбиции да преподава NSA на студенти, и да измести класическия анализ. Май не е сполучил много, иначе да сме чули.
Само съм мяркал тази теория в книги по логика. Робинсон (Abraham Robinson - еврейн) заедно с Тарски (A. Tarski - поляк) се смятат за основатели на теория на моделите. Много се цитират в текстовете по логика.
Между другото, във веб-страницата на H. J. Keisler, който е признат в логиката и теория на моделите, се казва че си падал много по NSA :) И този Кейслер работи в университета Медисън, Уинсконсин. Може би с Boian са се разминавали в коридорите на университета :)
Поздрави,
/b33
P.S.
Tazi teoriq NSA ne promenia neshtata principno za sega. Teoriata si e suvsem viarna, otnowo 5/0 ne e opredeleno, granicite i integralite rabotiat kakto se ochakva. Obache vse oshte ne namira miasto v konvencialnata matematika. Istoricheski oshte Leibnitz e govoril za "bezkraino-malki" che da obiasni diferencialnoto smiatane. Ne e moglo da stane po negovo vreme. Tova e bilo v srednovekevoieto, a po-kysno e bilo izmesteno ot tehnikata epsilon-delta na Waiershtras i Coshi. Moje bi sled oshte 100 godini nasheto pokolenie shte uchi NSA v universiteta, dokato hvurchi iz kosmosa do nedostijimite za sega zwezdi :)
Безкрайнйост - не е толкова мътна :-)
1. За уточнение, защото разгледах постингите и може би си доста объркан. Безкрайност не е число, ако може да се фожори за чисо тук... В R множеството на реалните числа безкрайността не е дефинина като елемент на множеството - което автоматично означава че не е число от R.
Има обаче, някои други неща, например понятието "безкрайна точка" - ако се гледа в геометричен смисъл, което ще рече че можем да резглеждаме едно множество на R плюс безкрайната точка - това е точката която удовлетворява условията за т.нат безкрайност.
Но тебе като че ли те интересува чисто аналитичния смисъл на това, това което си написъл има смисъл и се нарича в реалния анализ "неопределеост",(и има смисъл на граница на редица клоняща към (колко ?) ако е дадено това)
Може би си нямал предвид редица - но като помилиш ще разберещ че "няма начин да си имал дъго предвид", защото колкото безкрайността е число - също толкова и границата е точен резултат от аритметична операация (иначе казано - за да използжаш и боравиш с безкр. изобщо за да съществъва тя в множеството в което смяташ - тогава правиш "граничен преход" - прехода при който храницата се изпозва като резултат).
И именно защото когато става дума за безкрайност не можеш да опраделиш просто така границата = е да можеш ак става дума за
n/(безкрайност) -> 0 това е ясно, надявам се.
Но когато имаш нещата които ти си написал тогава резултата е неопределен.
Сега на въпроса - искаш да сметнеш това, ами има начини в анлиза за разрешаване на неопределености, като най-лесния е "Метода на лаплас" а именно дифиренцираш частите на дробта и намираш границата на дробта от производните, като според правилото на Лаплас тази граница е границата която търсиш - Хитро нали
.
Ако се чудиш защо става така, може да погледнеш доказателството - има го в уч. по Реален анализ (напр. на Сендов) - ама аз не го помня.
Но връзката е че, когато намираш границите на такива неопределености, ти триабжа да имащ подробна информация, "коя от двете ф-ии расте по бързо" и то за всяка точка, а именно такава информация ти дава производната на ф-ята.
Правилото е приложимо итеративно, разбира се, защото, ако резултата е неопределеност нищо не преиворечи на условието на метода на лаплас.
уффф (дано да е Лаплас - поне така си спомням, беше някой от Многото Л.... ама ??? доколкото помня не беше лагранж, да мисля че е лаплас)
Мир вам.
Има обаче, някои други неща, например понятието "безкрайна точка" - ако се гледа в геометричен смисъл, което ще рече че можем да резглеждаме едно множество на R плюс безкрайната точка - това е точката която удовлетворява условията за т.нат безкрайност.
Но тебе като че ли те интересува чисто аналитичния смисъл на това, това което си написъл има смисъл и се нарича в реалния анализ "неопределеост",(и има смисъл на граница на редица клоняща към (колко ?) ако е дадено това)
Може би си нямал предвид редица - но като помилиш ще разберещ че "няма начин да си имал дъго предвид", защото колкото безкрайността е число - също толкова и границата е точен резултат от аритметична операация (иначе казано - за да използжаш и боравиш с безкр. изобщо за да съществъва тя в множеството в което смяташ - тогава правиш "граничен преход" - прехода при който храницата се изпозва като резултат).
И именно защото когато става дума за безкрайност не можеш да опраделиш просто така границата = е да можеш ак става дума за
n/(безкрайност) -> 0 това е ясно, надявам се.
Но когато имаш нещата които ти си написал тогава резултата е неопределен.
Сега на въпроса - искаш да сметнеш това, ами има начини в анлиза за разрешаване на неопределености, като най-лесния е "Метода на лаплас" а именно дифиренцираш частите на дробта и намираш границата на дробта от производните, като според правилото на Лаплас тази граница е границата която търсиш - Хитро нали
.
Ако се чудиш защо става така, може да погледнеш доказателството - има го в уч. по Реален анализ (напр. на Сендов) - ама аз не го помня.
Но връзката е че, когато намираш границите на такива неопределености, ти триабжа да имащ подробна информация, "коя от двете ф-ии расте по бързо" и то за всяка точка, а именно такава информация ти дава производната на ф-ята.
Правилото е приложимо итеративно, разбира се, защото, ако резултата е неопределеност нищо не преиворечи на условието на метода на лаплас.
уффф (дано да е Лаплас - поне така си спомням, беше някой от Многото Л.... ама ??? доколкото помня не беше лагранж, да мисля че е лаплас)
Мир вам.
Re: Безкрайнйост - не е толкова мътна :-)
Здрасти zaphod :)
Всичко е така, мисля. Може и Лаплас да е казал нещо но ми се струва, че говориш за правилата на Лопитал; не те критикувам - сам каза, че не си спомняш точно името.
[линк]'Hopital.html
Иначе много добре го каза, че "безкрайност" не е елемент на множеството от реални числа R. Така си е, поне както го пише в почти всички учебници.
По-горе споменах за един не-стандартн анализ, където Робинсон някак си е успял да добави към реалните числа безкрайно голямо число ОМЕГА и е показал, че даже може да смятаме правилно алгебрически - получава се отново "поле". В това "поле" R* се изпълняват всички аксиоми от обикновенното поле на реалните числа R, с изключение на аксиомата на Архимед; просто R* не е архимедово наредено .. иначе нищо си му няма.
Определено системата функционира - доказано от Робинсон, което го е увековечило (направил си е човека паметник неръкотворнъй, както би казал Пушкин :)
Без да има алгебрически смисъл, но смислено за топологията, може пак да добавяме безкрайност към нещо си. Например, Римановата сфера дето получаваме като добавим една точка "безкрайност" към равнината. Наивна геометрическа представа: все едно да загърнем от страни равнината и да я съберем в северния полюс=безкрайност, докато южния полюс става 0-лата. Получената сфера е компактна, докато обикновенната равнина е само локално-компактна.
Има теореми в топологията за компактифициране. С изкуствено добавяне на (много) точки можем да компактифицираме доста пространства, а специално равнината можем да компактифицираме с добавяне на една единствена точка. И реалната права R може - получава се окръжност (понеже е едномерна -- и точно съответства на Римановата сфера за 2-мерния случай).
Изговорих го за да става екшън и защото тъкмо съм на тази вълна - в момента се опитвам да чета от една книга на Solomon Lefschetz по алгебрична топология и там пише такива работи. Надявам се някой да раздуха нещо повече по въпроса, за да се светна без много труд и пот :)
Поздрави,
/b33
.
Всичко е така, мисля. Може и Лаплас да е казал нещо но ми се струва, че говориш за правилата на Лопитал; не те критикувам - сам каза, че не си спомняш точно името.
[линк]'Hopital.html
Иначе много добре го каза, че "безкрайност" не е елемент на множеството от реални числа R. Така си е, поне както го пише в почти всички учебници.
По-горе споменах за един не-стандартн анализ, където Робинсон някак си е успял да добави към реалните числа безкрайно голямо число ОМЕГА и е показал, че даже може да смятаме правилно алгебрически - получава се отново "поле". В това "поле" R* се изпълняват всички аксиоми от обикновенното поле на реалните числа R, с изключение на аксиомата на Архимед; просто R* не е архимедово наредено .. иначе нищо си му няма.
Определено системата функционира - доказано от Робинсон, което го е увековечило (направил си е човека паметник неръкотворнъй, както би казал Пушкин :)
Без да има алгебрически смисъл, но смислено за топологията, може пак да добавяме безкрайност към нещо си. Например, Римановата сфера дето получаваме като добавим една точка "безкрайност" към равнината. Наивна геометрическа представа: все едно да загърнем от страни равнината и да я съберем в северния полюс=безкрайност, докато южния полюс става 0-лата. Получената сфера е компактна, докато обикновенната равнина е само локално-компактна.
Има теореми в топологията за компактифициране. С изкуствено добавяне на (много) точки можем да компактифицираме доста пространства, а специално равнината можем да компактифицираме с добавяне на една единствена точка. И реалната права R може - получава се окръжност (понеже е едномерна -- и точно съответства на Римановата сфера за 2-мерния случай).
Изговорих го за да става екшън и защото тъкмо съм на тази вълна - в момента се опитвам да чета от една книга на Solomon Lefschetz по алгебрична топология и там пише такива работи. Надявам се някой да раздуха нещо повече по въпроса, за да се светна без много труд и пот :)
Поздрави,
/b33
.
Re: Безкрайнйост - не е толкова мътна :-)
Здрасти,
наистина съжалявам за простотията с имената... :-( ама какво да се прави, след време почваш да помниш главно идеята за нещата отколкото тези работи :-(. Не чв съм завършил толкова отдаевна - '99, но и такива изцепки се случват...
Сега за анализа за койото говориш - не зъм запознат с книгата за която става дума, но честно казано, нещо не мога да се сетя какъв е смисъла от това. 1. Има понятие и похвати - дори и в аналитичната геометрия, в който се "добавя" безкрайността която условно -нариаме "безкрайна" - разбира се след такава трансформация, пространството (в смисъла на анализа - множеството R например) не остава "ни лук яло ни лук мирисало", защото в този случай от една страна добавяме безкрайната точка, и едновременно с това трябва да я извадим - например, в безкрайната точка хиперболата "допира" асимптотите си... дефиницията на които е че въпросната крива постоянно се доближава до тях... и така нататък, което на пръв поглед изключва възможността за напълно нормално смятане във R*(R + оо). Това обаче идва именно от факта че множествота на реалните числа не е компактно множество.
От една страна анализа се справя с тази некомпактност като използва т.нар. граничен преход, така сравнително лесно се "прескача" некомпактността на R, защото всеки път като се сблъскаме с "незатвореността" на R или с това че не е ограничено, имаме механизъм - търси граница :-)
Добавянето на "безкрайната точка" обаче прави това, ако мога да се изразя така, с груба сила - добавяме безкрайната точка и получаваме компактно множество - което разбира се съвсем логично е да изпълнява ословията за биективно съорветствие със н-мерната сфера( за н-мерно множество от по горе) - именно римановата сфера.
Колкото до това че множеството R* е поле, искам да видя доказателството. Защото с понятието за безкрайност което познаваме как ще се удовлетвори - а+(-а)=0=(-а)+а например ила а.а^-1 = 1 = а^-1.а ? и дали ако за да се правим с тези условия допуснем че безкрайната точка е "фиксирана" или имаме "безкрайна константа" това ще удовлетвори нуждата от добавянето на такава точка...
Ако има някъде електронен вариант на книгата дай линк да видя за какво става дума.
Аре.
наистина съжалявам за простотията с имената... :-( ама какво да се прави, след време почваш да помниш главно идеята за нещата отколкото тези работи :-(. Не чв съм завършил толкова отдаевна - '99, но и такива изцепки се случват...
Сега за анализа за койото говориш - не зъм запознат с книгата за която става дума, но честно казано, нещо не мога да се сетя какъв е смисъла от това. 1. Има понятие и похвати - дори и в аналитичната геометрия, в който се "добавя" безкрайността която условно -нариаме "безкрайна" - разбира се след такава трансформация, пространството (в смисъла на анализа - множеството R например) не остава "ни лук яло ни лук мирисало", защото в този случай от една страна добавяме безкрайната точка, и едновременно с това трябва да я извадим - например, в безкрайната точка хиперболата "допира" асимптотите си... дефиницията на които е че въпросната крива постоянно се доближава до тях... и така нататък, което на пръв поглед изключва възможността за напълно нормално смятане във R*(R + оо). Това обаче идва именно от факта че множествота на реалните числа не е компактно множество.
От една страна анализа се справя с тази некомпактност като използва т.нар. граничен преход, така сравнително лесно се "прескача" некомпактността на R, защото всеки път като се сблъскаме с "незатвореността" на R или с това че не е ограничено, имаме механизъм - търси граница :-)
Добавянето на "безкрайната точка" обаче прави това, ако мога да се изразя така, с груба сила - добавяме безкрайната точка и получаваме компактно множество - което разбира се съвсем логично е да изпълнява ословията за биективно съорветствие със н-мерната сфера( за н-мерно множество от по горе) - именно римановата сфера.
Колкото до това че множеството R* е поле, искам да видя доказателството. Защото с понятието за безкрайност което познаваме как ще се удовлетвори - а+(-а)=0=(-а)+а например ила а.а^-1 = 1 = а^-1.а ? и дали ако за да се правим с тези условия допуснем че безкрайната точка е "фиксирана" или имаме "безкрайна константа" това ще удовлетвори нуждата от добавянето на такава точка...
Ако има някъде електронен вариант на книгата дай линк да видя за какво става дума.
Аре.
Re: Безкрайнйост - не е толкова мътна :-)
Не мога да препоръчвам за NSA нищо от интернет понеже не съм се интересувал и нямам информация. Ето какжо намерих в Google:
[линк]
оргинално заглавие от Абрахам Робинсон, но за съжаление л печатен вид - 30 долара :) Погледнр поне съдържанието, за да се убедиш че е всичко е съвсем сериозно. Ако желаеш, търси сам - може да испадне нещо безплатно.
Key words за google: NSA, "Non-standard analysis", "Infinitesimal analysis", "Abraham Robinson".
Мога да ти кажа грубо идеята на NSA. Реалните числа се разширяват, чрез добавяне на едно ново число ОМЕГА, за което се постулира, че е по-голямо от всяко друго реално число (за това е безкрайно голямо). После се доказва, че това не противоречи на останалите аксиоми на нареденото поле (с изключение на аксиомата на Архимед). Това е просто - пряко следствие на теоремата на Льовенхем-Скулем, съгласно която ако някоя теория в изброим език притежава безкраен модел с мощност K, то тя притежава модели и с произволна мощност по-голяма от K.
Това до тук не е кой знае какъв резултат. Давани само правилна алгебрическа интерпретация, но без семантика (как да го ползваме?). Още през 30-те години на миналия век е било известно, че теория на числата (дето се задава с аксиомите на Пеано) притежава не-стандартни модели.
Основното което е направил Робинсон, е първо че е построил R* като елементарно разширение на R. Самото понятие елементарно разширение, от теория на моделите, е било въведено и изследвано от него. Смисъла му е следния: R е обикновенно подмножество на R*, но освен това, за всяко твърдение в чиято логическа формула се съдъежар само константи от R и променливи, и което е вярно във разширението R* задължително е вярно и в под-модела R.
Точно последното се използва в тази теория NSA. Обратното число omega=1/OMEGA е безкрайно малко: то е по-близко (но не равно) до 0 от всяко друго реално число. Това се използва за приложения в анализа, именно когато търсим граници .. и свързани въпроси. Ако получим, че f(x) = g(x) + 3*omega, преминавайки от R* към R се поолучава точно f(x)=g(x), понеже omegega е безкрайно близко до нула. Грубо казано, все едно че сме записали нещо като f(x)=g(x) + O(3*dx) както се пише някога в анализа.
Не ичаквай от мен повече подробности - казах че малко зная по въпроса.
За съсществуването на такива "безкрайно малки числа" е предполагал още Лейбниц в зората на анализа; самите означения dy/dx са от Лейбниц (не от Нютон) и са в този дух, понеже тогава все още са се опитвали някак да обяснят новата за тогава теория, а Лайбниц си е мислил за някакви безкрайно малки числа. Тази техника чрез граници, епсилон-делта и т.н. е от по-късно - въвели са я Вайерщрас и Коши .. та царства и до днес.
Важността на целия този Non-standard analysis е, че той реабилитира идеите на Лейбниц, и дава алтернатива за анализа пред класическата техника епсилон-делта. Все пак това, че ние ползваме именно това дето са дали Вайерщрас и Коши си е малко или много историческа случайност, нали? Ако техниката на Робинсон беше открите в зората на анализа, по времето на Лейбниц, може би днес щяхме да учим анализа по друг начин.
Знае ли се?
Все пак е някаква алтернатива, която определено работи!
Поздрави,
/b33
PS.
За този NSA се говори много в теория на моделите, от където съм го срещнал като понятие. Обаче сам по себе си NSA остава интересен за анализа, и предполагам ще намериш изложение без задълбаване в логиката. Книгата за която говорих, беше руски превод, но съжалявам че не мога да цитирам - беше отдавна и съм я забравил. Построението на R* в нея беше дадено само с обикновенни теоретико-множествени конструкции, без да ползва нищо специално от логиката. Така, че има литература подходяща и за хора неизкушени в логиката.
.
[линк]
оргинално заглавие от Абрахам Робинсон, но за съжаление л печатен вид - 30 долара :) Погледнр поне съдържанието, за да се убедиш че е всичко е съвсем сериозно. Ако желаеш, търси сам - може да испадне нещо безплатно.
Key words за google: NSA, "Non-standard analysis", "Infinitesimal analysis", "Abraham Robinson".
Мога да ти кажа грубо идеята на NSA. Реалните числа се разширяват, чрез добавяне на едно ново число ОМЕГА, за което се постулира, че е по-голямо от всяко друго реално число (за това е безкрайно голямо). После се доказва, че това не противоречи на останалите аксиоми на нареденото поле (с изключение на аксиомата на Архимед). Това е просто - пряко следствие на теоремата на Льовенхем-Скулем, съгласно която ако някоя теория в изброим език притежава безкраен модел с мощност K, то тя притежава модели и с произволна мощност по-голяма от K.
Това до тук не е кой знае какъв резултат. Давани само правилна алгебрическа интерпретация, но без семантика (как да го ползваме?). Още през 30-те години на миналия век е било известно, че теория на числата (дето се задава с аксиомите на Пеано) притежава не-стандартни модели.
Основното което е направил Робинсон, е първо че е построил R* като елементарно разширение на R. Самото понятие елементарно разширение, от теория на моделите, е било въведено и изследвано от него. Смисъла му е следния: R е обикновенно подмножество на R*, но освен това, за всяко твърдение в чиято логическа формула се съдъежар само константи от R и променливи, и което е вярно във разширението R* задължително е вярно и в под-модела R.
Точно последното се използва в тази теория NSA. Обратното число omega=1/OMEGA е безкрайно малко: то е по-близко (но не равно) до 0 от всяко друго реално число. Това се използва за приложения в анализа, именно когато търсим граници .. и свързани въпроси. Ако получим, че f(x) = g(x) + 3*omega, преминавайки от R* към R се поолучава точно f(x)=g(x), понеже omegega е безкрайно близко до нула. Грубо казано, все едно че сме записали нещо като f(x)=g(x) + O(3*dx) както се пише някога в анализа.
Не ичаквай от мен повече подробности - казах че малко зная по въпроса.
За съсществуването на такива "безкрайно малки числа" е предполагал още Лейбниц в зората на анализа; самите означения dy/dx са от Лейбниц (не от Нютон) и са в този дух, понеже тогава все още са се опитвали някак да обяснят новата за тогава теория, а Лайбниц си е мислил за някакви безкрайно малки числа. Тази техника чрез граници, епсилон-делта и т.н. е от по-късно - въвели са я Вайерщрас и Коши .. та царства и до днес.
Важността на целия този Non-standard analysis е, че той реабилитира идеите на Лейбниц, и дава алтернатива за анализа пред класическата техника епсилон-делта. Все пак това, че ние ползваме именно това дето са дали Вайерщрас и Коши си е малко или много историческа случайност, нали? Ако техниката на Робинсон беше открите в зората на анализа, по времето на Лейбниц, може би днес щяхме да учим анализа по друг начин.
Знае ли се?
Все пак е някаква алтернатива, която определено работи!
Поздрави,
/b33
PS.
За този NSA се говори много в теория на моделите, от където съм го срещнал като понятие. Обаче сам по себе си NSA остава интересен за анализа, и предполагам ще намериш изложение без задълбаване в логиката. Книгата за която говорих, беше руски превод, но съжалявам че не мога да цитирам - беше отдавна и съм я забравил. Построението на R* в нея беше дадено само с обикновенни теоретико-множествени конструкции, без да ползва нищо специално от логиката. Така, че има литература подходяща и за хора неизкушени в логиката.
.
Zaglavieto na knigata
Здрасти пак :)
Успях да намеря в едни библиографии заглавието на онази книга, дето казах че съм виждал в превод на руски език:
M. H. A. Devis, Applied Nonstandard Analysis , Wiley & Sons. New York, 1977.
Ако не съм я объркал, точно нея съм вземал от библиотеката на ТУ. След като я има в ТУ трябва да я има и другаде, поне в НБ. Ако те вълнува може да пробваш - за руския превод трябва да се потърси по автор: "Девис, М., Приложнъй нестандартнъй анализ ..", или нещо подобно.
Поздрави,
/b33
Успях да намеря в едни библиографии заглавието на онази книга, дето казах че съм виждал в превод на руски език:
M. H. A. Devis, Applied Nonstandard Analysis , Wiley & Sons. New York, 1977.
Ако не съм я объркал, точно нея съм вземал от библиотеката на ТУ. След като я има в ТУ трябва да я има и другаде, поне в НБ. Ако те вълнува може да пробваш - за руския превод трябва да се потърси по автор: "Девис, М., Приложнъй нестандартнъй анализ ..", или нещо подобно.
Поздрави,
/b33
Безкрайнйост == oo?
Да кажа малко (некомпетентно) мнение и за останалите въпроси извън NSA които Zaphod(R) засяга.
/Вече стана такъв наплив в клуба, че не ни стигат никове; едва днес разбрах че zaphod и Zaphod(R) не са един и същи човек :)/
Тази безкрайност "oo" (или полегнала осмица) дето масово употребяваме в анализа, много ме дразни. Първо, когато опитаме да разделом на нула, често виждам текста 5/0=oo. После когато една функция, примерно f(x)=1/(x - x0), нараства неограничено в околността на някаква точка x0, пак някой казват (даже дават запис в официална книга) че е равна на безкрайност: f(x0)=oo. Такива записи се срещат в "някои" учебници, без никакви пояснения и възражения - нямам майтап!
Аз бих ползвал за тези случай вместо "oo" думите "неопределено" или "недефинирано". Просто, защото в полето от реални числа R, както и във всяко друго поле, деление на нула не е разрешено, т.е. не е дефинирано. От чисто алгебрически съображения, без да се намесва анализа и всякакви си там гранични процеси. Ами във всяка близост со x0 функцията f(x) си е напълно определена, ако ще стойността и да е милярди ..; просто в точка x0 функцията f(x0) не е определена, по чисто алгебрически съображения - "Error: Division by zero!", какти би се развикал компютъра :)
Бих попитал, каква именно "безкрайност" се означава със символа "oo"? Защото има много "безкрайности". В теория на множествата, започвайки от крайните ординали 0, 1, 2, .. после продължяваме през първия безкраен ординал Халеф0={обединение на всички цели числа 0, 1, ..}, а по нататък има Халеф1, Хакеф2, ..., Халеф_халеф1, Халеф_халеф2, .. до като стигнем до невъобразимо голями безкрайни ординални числа, който са под въпрос изобщо (има хипотеза за съществуване на недостижимите кардинални числа, не-доказано).
Значи тази безкрайност "oo" по-добре да я възприемеме като "неопределеност", а не като нещо много голямо, та после да се чудим как да отговорим на въпроса "колко голямо, по-точно?". Тя има общо с "голямите работи", т.к. 1/x ста ва твърде голямо когато x клони към нула, а когато x=0 израза 1/x става хептем не-определен.
Да вземем нестандартния анализ (NSA) за който стана дума. Безкрайното число ОМЕГА дето се добавя е по същество първия безкраен ординал Халев0, значи "безктайност някаква си".
Може и да греша в разсъжденията.
Нека някой ме опровергае, ще се радвам.
Ни най-малко не смятам че съм открил топлата вода - това трябва да е ясно на математиците.
Самия въпрос за "безкрайност" и мен ме е мъчил; споделям как съм си отговорил на него :)
Поздрави,
/b33
PS. По-старите членове на клуба знаят че съм инженер а не професионален математик .. повтарям го за по-новите, че да не вземе някой много да ми се вързва!
.
/Вече стана такъв наплив в клуба, че не ни стигат никове; едва днес разбрах че zaphod и Zaphod(R) не са един и същи човек :)/
Тази безкрайност "oo" (или полегнала осмица) дето масово употребяваме в анализа, много ме дразни. Първо, когато опитаме да разделом на нула, често виждам текста 5/0=oo. После когато една функция, примерно f(x)=1/(x - x0), нараства неограничено в околността на някаква точка x0, пак някой казват (даже дават запис в официална книга) че е равна на безкрайност: f(x0)=oo. Такива записи се срещат в "някои" учебници, без никакви пояснения и възражения - нямам майтап!
Аз бих ползвал за тези случай вместо "oo" думите "неопределено" или "недефинирано". Просто, защото в полето от реални числа R, както и във всяко друго поле, деление на нула не е разрешено, т.е. не е дефинирано. От чисто алгебрически съображения, без да се намесва анализа и всякакви си там гранични процеси. Ами във всяка близост со x0 функцията f(x) си е напълно определена, ако ще стойността и да е милярди ..; просто в точка x0 функцията f(x0) не е определена, по чисто алгебрически съображения - "Error: Division by zero!", какти би се развикал компютъра :)
Бих попитал, каква именно "безкрайност" се означава със символа "oo"? Защото има много "безкрайности". В теория на множествата, започвайки от крайните ординали 0, 1, 2, .. после продължяваме през първия безкраен ординал Халеф0={обединение на всички цели числа 0, 1, ..}, а по нататък има Халеф1, Хакеф2, ..., Халеф_халеф1, Халеф_халеф2, .. до като стигнем до невъобразимо голями безкрайни ординални числа, който са под въпрос изобщо (има хипотеза за съществуване на недостижимите кардинални числа, не-доказано).
Значи тази безкрайност "oo" по-добре да я възприемеме като "неопределеност", а не като нещо много голямо, та после да се чудим как да отговорим на въпроса "колко голямо, по-точно?". Тя има общо с "голямите работи", т.к. 1/x ста ва твърде голямо когато x клони към нула, а когато x=0 израза 1/x става хептем не-определен.
Да вземем нестандартния анализ (NSA) за който стана дума. Безкрайното число ОМЕГА дето се добавя е по същество първия безкраен ординал Халев0, значи "безктайност някаква си".
Може и да греша в разсъжденията.
Нека някой ме опровергае, ще се радвам.
Ни най-малко не смятам че съм открил топлата вода - това трябва да е ясно на математиците.
Самия въпрос за "безкрайност" и мен ме е мъчил; споделям как съм си отговорил на него :)
Поздрави,
/b33
PS. По-старите членове на клуба знаят че съм инженер а не професионален математик .. повтарям го за по-новите, че да не вземе някой много да ми се вързва!
.