Do some EASY sums
9 отговора
202 прегледа
Do some EASY sums
...
Neznam kolko sa lesni tezi zada4ki (mnogo),no stigam do sredata i vaob6te ne mi se polu4avat.
Ako niakoi ima mani4ko svobodno vreme kolkoto da refresh-ne his memory, moje da mi pomogne. Thanks a lot predvaritelno, God bless you...hihi...enjoy.
----1st Problem--------------------------------------------------------------------------------------
lim f(x + delta x) - f (x) / delta x = ?
delta x ->0
a) f(x)=6
b) f(x)=cotg x
----2nd Problem-------------------------------------------------------------------------------------
V koia (koi) to4ka (to4ki) f(x) e prekusnata? Za6to?
f(x) = ...-> 3 2
[(x) - 1] / [(x) - 1] x E (-S;1) U (-1;1) U (1;+S)
5 x = -1
1,5 x = 1
------3rd Problem------------------------------------------------------------------------------------
Triagalna piramida ABCM s osnova ostroagulen ravnobedren triagalnik ABC,
v koito AC = BC, AM = BC, a okolnite rabove AM and BM sa saotvetno perpendiculiarni na osnovnite rabove BC and AC:
a) da se dokaje, 4e CM perpendikuliana na AB.
b) da se nameri obema ako agala mejdu CM and ravninata ABC e alfa e raven na agal ABC and AC = a.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Neznam kolko sa lesni tezi zada4ki (mnogo),no stigam do sredata i vaob6te ne mi se polu4avat.
Ako niakoi ima mani4ko svobodno vreme kolkoto da refresh-ne his memory, moje da mi pomogne. Thanks a lot predvaritelno, God bless you...hihi...enjoy.
----1st Problem--------------------------------------------------------------------------------------
lim f(x + delta x) - f (x) / delta x = ?
delta x ->0
a) f(x)=6
b) f(x)=cotg x
----2nd Problem-------------------------------------------------------------------------------------
V koia (koi) to4ka (to4ki) f(x) e prekusnata? Za6to?
f(x) = ...-> 3 2
[(x) - 1] / [(x) - 1] x E (-S;1) U (-1;1) U (1;+S)
5 x = -1
1,5 x = 1
------3rd Problem------------------------------------------------------------------------------------
Triagalna piramida ABCM s osnova ostroagulen ravnobedren triagalnik ABC,
v koito AC = BC, AM = BC, a okolnite rabove AM and BM sa saotvetno perpendiculiarni na osnovnite rabove BC and AC:
a) da se dokaje, 4e CM perpendikuliana na AB.
b) da se nameri obema ako agala mejdu CM and ravninata ABC e alfa e raven na agal ABC and AC = a.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
CAUTION 2! The saga continues...
Tova kompi tui intelegentno nose6tno nazvanieto pc e re6ilo da mi sabotira zada4ka...again 2nd Problem imame ne 5x = -1, nito 1,5x = 1, a po uslovie pravilno e da priemem, 4e pri x=-1, funkciata priema stoinost 5; a pri x=1, vazprietata stoinost e 1.....
triabva6e da izlejda gore-dolu taka:
5 .... x = -1
1,5....x = 1
triabva6e da izlejda gore-dolu taka:
5 .... x = -1
1,5....x = 1
Problem 3
Tui kato az si padam po piramidite ( ne samo matematicheskite , no i tezi v moita oblast ) ste ti resha samo problem 3. Za drugite me murzi puk i sa mnogo trivialni da se habq.
Solution:
A) 1st way
Neka da obobstim zadachata. Ste schitam samo che ABC e ostougulen; AC coll (colinear -perpendiculqren) na BM; AM coll na BC. Ste dok che CM coll na AB. Neka M se proektira v M1 ot ravninata ABC. AM coll na BC sledva AM1 coll na BC (imashe takava theorema ne i pomnq imeto. Mai na trite tochki se kazvashe). Analog-BM coll na AC sledva BM1 coll AC. Taka poluchihme che M1 e ortocenter na tr. ABC. Sledva CM1 coll na AB. Sega pak po onaq theorema CM coll na AB.
2 nd way
Mr. Leonard Euler e dokazal na vremeto takova vektorno ravenstvo. Za vseki 4 tochki v prostranstvoto e.g. tuk A,B,C,M e v sila
AM.BC+MB.AC + BA.MC = 0
(Proof: Tova e vse edno da dok. che AM.(BM+MC)+MB.(AM+MC)+ MC.(BM+MA)=0 ami razkrivash skoite i go vizdash. Zaelezi tova sa vektori vupreki che ne pishem strelkichka otgore po oqsnimi suobrazeniq i susto taka proizvedenieto e skalarno)
Ami ot tova ravenstvo sledva che AM.BC=0 (AM coll na BC), BM.AC=0 (BM coll na AC) Znachi i MC.AB e nula. A tova znachi che AB coll na MC.
b) To sega veche e prosto kato znem che M1 e ortocenter na tr. ABC. Sega ste izpolzvame obache vsichki raboti dadeni v zadachata. M1AB=90-a sledva M1AC= a-(90-a)=2a-90, no ACM1=90-a. Sledva AM1C=180-(2a-90+90-a)= 180-a. Ot tr. AM1C imame a/sin(a) = CM1/sin(2a-90) i.e. CM1=a.cos(2a)/sin(a). Ot tr. MM1C imame MM1=CM1tg(a) ili MM1=a.cos(2a).tg(a)/sin(a)=a.cos(2a)/cos(a). V=S(tr.ABC).MM1=a.a.sin(2a).a.cos(2a)/6cos(a). Okaza se che AM=a e izlishno.
SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO
, no i tezi v moita oblast ) ste ti resha samo problem 3. Za drugite me murzi puk i sa mnogo trivialni da se habq.
Solution:
A) 1st way
Neka da obobstim zadachata. Ste schitam samo che ABC e ostougulen; AC coll (colinear -perpendiculqren) na BM; AM coll na BC. Ste dok che CM coll na AB. Neka M se proektira v M1 ot ravninata ABC. AM coll na BC sledva AM1 coll na BC (imashe takava theorema ne i pomnq imeto. Mai na trite tochki se kazvashe). Analog-BM coll na AC sledva BM1 coll AC. Taka poluchihme che M1 e ortocenter na tr. ABC. Sledva CM1 coll na AB. Sega pak po onaq theorema CM coll na AB.
2 nd way
Mr. Leonard Euler e dokazal na vremeto takova vektorno ravenstvo. Za vseki 4 tochki v prostranstvoto e.g. tuk A,B,C,M e v sila
AM.BC+MB.AC + BA.MC = 0
(Proof: Tova e vse edno da dok. che AM.(BM+MC)+MB.(AM+MC)+ MC.(BM+MA)=0 ami razkrivash skoite i go vizdash. Zaelezi tova sa vektori vupreki che ne pishem strelkichka otgore po oqsnimi suobrazeniq i susto taka proizvedenieto e skalarno)
Ami ot tova ravenstvo sledva che AM.BC=0 (AM coll na BC), BM.AC=0 (BM coll na AC) Znachi i MC.AB e nula. A tova znachi che AB coll na MC.
b) To sega veche e prosto kato znem che M1 e ortocenter na tr. ABC. Sega ste izpolzvame obache vsichki raboti dadeni v zadachata. M1AB=90-a sledva M1AC= a-(90-a)=2a-90, no ACM1=90-a. Sledva AM1C=180-(2a-90+90-a)= 180-a. Ot tr. AM1C imame a/sin(a) = CM1/sin(2a-90) i.e. CM1=a.cos(2a)/sin(a). Ot tr. MM1C imame MM1=CM1tg(a) ili MM1=a.cos(2a).tg(a)/sin(a)=a.cos(2a)/cos(a). V=S(tr.ABC).MM1=a.a.sin(2a).a.cos(2a)/6cos(a). Okaza se che AM=a e izlishno.
SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO
Re: Do some EASY sums
Нашият приятел Keynes е прав по подточка а), но по подточка б) се е пообъркал. Мен ми се струва, че си трябва АМ=а, пък и ъгълът е алфа=@ ,а не а.
Но нищо де, на всеки се случва да сбърка. Аз също ще ти предложа решение. За а) имам още две други решения, освен дадените от Keynes. Ще дам едното, а другото ме мързи да го пиша и него. Между другото колинеарен не значи перпендикулярен а точно обратното: успореден = || ! перпендикулярен=ортогонален=_|_.
а) Нека построим: през точка С права L(с), успоредна на АВ; през точка А права L(а), успоредна на на ВС; през точка В права L(b), успоредна на СА.
Нека А1=L(b) прес. L(c) , B1=L(c) прес. L(a) и C1=L(a) прес. L(b). Триъгълникът А1В1С1 е такъв, че АВС е съставен от средните му отсечки. По условие
МА _|_ ВС и тъй като ВС || B1C1, то MA _|_ B1C1. Но А е среда на В1С1 и следователно МА е височина и медиана в тр А1В1М. Значи последният е равнобедрен, т.е. В1М=С1М. Аналогично от факта, че МВ _|_ АС следва, че А1М=С1М. Тогава В1М=А1М. Това значи, че тр А1В1М е също равнобедрен и тъй като МС е медиана в него (С е среда на А1В1), то тя е и височина, т.е.
МС_|_ A1В1. Но А1В1 || AB, следователно МС _|_ АВ.
б) Нека Н е средата на АВ. Тъй като СА=СВ, то СН _|_ AB (АВС е равнобедрен). Но от а) СМ _|_ AB, следователно МН _|_ АВ, т.е. МН е височина и медиана в тр АВМ - равнобедрен, откъдето АМ=ВМ=СА=СВ=а. Триъгълниците ABC и ABM са еднакви и следователно съответните им височини СН и МН са равни, т.е. тр СМН е равнобедрен. Намираme в триъгълника АВС, че СН=а sin(@). Тогава в триъгълника СМВ намираме, че СМ=2 а sin(@)cos(@)=а sin(2@). Оттук височината h през М в пирамидата е = на h=a sin(2@)sin(@). От друга страна
лицето на основата АВС S(ABC)= (a^2 sin(2@))/2. Така обемът на пирамидата
е V=(a^3 sin(2@) sin(2@) sin (@))/6. Toя израз можеш да си го преобразуваш.
За първата задача ти искат да намериш производните на функциите, доколкото видях. Първата е константа и следователно производната и е 0. За котангенса имаме (cotg(x)) ' = - 1/(sin(x)^2) .
Но нищо де, на всеки се случва да сбърка. Аз също ще ти предложа решение. За а) имам още две други решения, освен дадените от Keynes. Ще дам едното, а другото ме мързи да го пиша и него. Между другото колинеарен не значи перпендикулярен а точно обратното: успореден = || ! перпендикулярен=ортогонален=_|_.
а) Нека построим: през точка С права L(с), успоредна на АВ; през точка А права L(а), успоредна на на ВС; през точка В права L(b), успоредна на СА.
Нека А1=L(b) прес. L(c) , B1=L(c) прес. L(a) и C1=L(a) прес. L(b). Триъгълникът А1В1С1 е такъв, че АВС е съставен от средните му отсечки. По условие
МА _|_ ВС и тъй като ВС || B1C1, то MA _|_ B1C1. Но А е среда на В1С1 и следователно МА е височина и медиана в тр А1В1М. Значи последният е равнобедрен, т.е. В1М=С1М. Аналогично от факта, че МВ _|_ АС следва, че А1М=С1М. Тогава В1М=А1М. Това значи, че тр А1В1М е също равнобедрен и тъй като МС е медиана в него (С е среда на А1В1), то тя е и височина, т.е.
МС_|_ A1В1. Но А1В1 || AB, следователно МС _|_ АВ.
б) Нека Н е средата на АВ. Тъй като СА=СВ, то СН _|_ AB (АВС е равнобедрен). Но от а) СМ _|_ AB, следователно МН _|_ АВ, т.е. МН е височина и медиана в тр АВМ - равнобедрен, откъдето АМ=ВМ=СА=СВ=а. Триъгълниците ABC и ABM са еднакви и следователно съответните им височини СН и МН са равни, т.е. тр СМН е равнобедрен. Намираme в триъгълника АВС, че СН=а sin(@). Тогава в триъгълника СМВ намираме, че СМ=2 а sin(@)cos(@)=а sin(2@). Оттук височината h през М в пирамидата е = на h=a sin(2@)sin(@). От друга страна
лицето на основата АВС S(ABC)= (a^2 sin(2@))/2. Така обемът на пирамидата
е V=(a^3 sin(2@) sin(2@) sin (@))/6. Toя израз можеш да си го преобразуваш.
За първата задача ти искат да намериш производните на функциите, доколкото видях. Първата е константа и следователно производната и е 0. За котангенса имаме (cotg(x)) ' = - 1/(sin(x)^2) .
You're right.
Blagodaria ti L.E.M. Deistvitelno ima6 pravo za svoite "zabelejki"...vsa6tnost az kato gi pro4etoh tezi t.nar. termini, niakoi sa mi malko nepoznati, za6toto az ne sam matematik, a u4a matematika v 11 klas i to v ezikovo u4ili6te, taka 4e prevesa na silite otiva v dryga posoka.Vse pak tezi re6enia sa mi ot goliama pomo6t.Nezavisimo kolko elementarni sa tezi zada4i za horata, koito poznavat matemaikata po-dobre ot sobstvenoto si az, mnogo blagodaria za pomo6ta.
NEVER UNDERESTIMATE THE POWER OF STUPID PEOPLE IN GROUPS!
NEVER UNDERESTIMATE THE POWER OF STUPID PEOPLE IN GROUPS!
Извинявай
Не си сбъркал. Аз понеже само погледнах и като видях а и в cos и sin си помислих така. При твойта забележка, вече видях, че е вярно. Странното на тая задача е, че има връзка между а и @, а не са независими.Но тя а) е по-интересна, а б) е нсамо някаво пресмятане.
Иначе си прав, че височините се пресичат в една точка. Това е вярно за всяка пирамидада, за която срещуположните ръбове са два по два перпендикулярни. То защото всеки ръб и двете височини, спуснати от двата му края лежат в една равнина и тези височини се пресичат в една точка.
Иначе си прав, че височините се пресичат в една точка. Това е вярно за всяка пирамидада, за която срещуположните ръбове са два по два перпендикулярни. То защото всеки ръб и двете височини, спуснати от двата му края лежат в една равнина и тези височини се пресичат в една точка.