Dok. , che...

Dokavete, che funkciata f(x)=x^0.5 e neprekasnata kogato x po-goliamo ili rawno na 0. Taia zadacha mi se struwa dosta zawarzana i wi molia za pomost.

Ochevidnoto si e ochevidno!

-------------------

Best regards!

Zawisi na kakwo niwo razsavdawash i kakwo priemash za dadeno...

Znachi, predpolagam, che tova e zadacha ot analiza i se polzvat prietite definicii za neprekysnatost i prochie.

Vse pak, eto ya definiciyata za neprekysnatost. Kazvame, che funkciyata f e neprekusnata v t. x0 (x0 e t. na sgystyavane za def. mn-vo) ako za vsyako e>0 syshtestvuva d>0, takova che vinagi kogato |x-x0|<d, sledva |f(x)-f(x0)|<e.

Neka sega f(x)=x^(0.5). Neka e>0 e nyakakvo polozhitelno chislo.
Togava |f(x)-f(x0)|=|x-x0|/(x^(0.5)+x0^(0.5)) < |x-x0|/x0^(0.5). Togava ako izberem d=e*x0^(0.5) vsichko e nared.

Boian

mdam i tazi definiciq stawa makar che obiknoweno i wikat "rawnomerna neprekysnatost", ama kakto i da e tq e ekwiwalentna na drugata

samo da otbelezha che si obyrnal d i e na kraq na definiciqta - trqbwa da e
"vinagi kogato |x-x0|<e, sledva |f(x)-f(x0)|<d"

Полека. Иди първо си преговори пак дефиницията за непрекъснатост. После си преговори (или си научи) дефиницията и за равномерна непрекъснатост. Струва ми се, че не са ти много ясни.

abe nqma kyde da si pregoworq ama sa kat sa zamislq si praw...taq prostotiq mai i wikaha delta-epsilon definiciq za rawnomernost ili neshto ot toq rod, to da go zaboli chowek glawata ot ekwiwalentni definiciii...ma nishto sledwashtiq pyt she cheta po-wnimatelno

Ne ne ne.

Znachi ako d zavisi ot x0 i e, to govorim samo za neprekysnatost. Za da imame ravnomerna neprekysnatost, to d ne mozhe da zavisi ot x0. Zatova se kazva i ravnomerna. Dvete definicii syvsem ne sa ekvivalentni. Obache se pokazva, che ako def. mnozhestvo e kompaktno, to te sa. Osven tova, ako govorim abstraktno, neprekysnatostta e topologichno ponyatie, a ravnomernata neprekusnatost--metrichno.

A inak ne mislya, che sym oburkal d i e. Ako taka kakto ti tvurdish, to definicyata nyama smisyl. Vzemi d=|f(x)-f(x0)|+0.00001.

Boian

Ami to definicii mnogo. No te kazvat, che kogato x i x0 sa blizko edno do drugo, to f(x) i f(x0) sa blizko. Ostanalato e vupros na prevod v simvoli.

А компактността не е ли също само топологическо свойство? Това значи ли че всеки компакт е метризуем?

Ne mislya, che vseki kompakt e metrizuem.

Ekvivalentni sa v metrichnite prostranstva. Dosega ne sym sreshtal definiciya na ravnomerna neprekysnatost v prostranstvo deto nyama metrika.

Shte proverya pak v knigite po topologiya.

Boian

prawi si..kakto weche pisah w predniq msg, az sym toq det se e obyrkal

az syshto mislq che kompaktonstta nqma nishto obshto s metrichnostta

obache onazi definiciq za neprekysnatost s d i e, koqto ti si dal syshto se osnowawa na metrika (kato definiciqta za rawnomerna neprekysnatost), t.e. wazhi za mnozhestwa s metrika...togawa za takiwa mozhestwa rawnomerna neprekysnatost e ekwiwalentno na neprekysnatost, poprawi me ako gresha ?

Awe, niakoi move li da mi obiasni slednoto nesto
Topologicheska definicia za neprekasnotost:
Map(funkcia) ot X kam Y (f:X-->Y) e neprekasnata togawa i samo togawa kogato za wsiako otworeno podmnovestwo V na Y, praobrazat f^-1(V)prinadlevasht na X e sashto otworen.
Ne mi e iasno tuk wsashtnost dali X i Y sa proizwolni mnovestwa ili sa metrichni prostranstwa. Ako sa metrichni prostranstwa, togawa towa nesto e wsashtnost sastoto kato epsilon-delta definiciata, ama profesora mai spomena, che towa sa proizwnolni mnovestwa. W takaw sluchai ne mi e isno wobshte kak movem da definirame sto e otworeno mnovestwo bez da imame funkcia, koiato da opredeli dali za niakakwa epsilon okolnost na niakakaw element ot mnovestwoto imame bezbroi mnogo drugi elementi ot towa mnovestwo. Ne se izrazih mnogo iasno, no se nadiawam, che znaete za tochno kakwo stawa wapros.

mi glei sa za topologicheski mnozhestwa mozhe da se definira otworenost bez da se nameswa epsilon-okolnost, osnownite topologichni definicii ne wkluchwat takowa ponqtie

Точно така, X и Y са произволни топологични пространства и това което казваш е дефиницията в общ случай. Има още 3-4 еквивалентни определения.
Случая с метрични пространства е само частен.

Значи за да говорим за непрекъснатост ни трябват само две топологични пространства и някоя функция между тях.

Обикновенно топология за X се определя чрез посочване на някакво количество отворени подмножества на X, които избираме да наречем отворени. Трябва X и празното да са отворени, а също и обединение на произволен брой отворени множества да е отворено.
Няма никакви ограничения за начина по който сме посочили (или избрали) отворените множества.

Най-тривиални топологии са "дискретната" при която всяко подмножество на X е отворено (а значи и затворено) и "антидискретната" при която единствено X и празното множество са отворени.
Друг пример е топологията на Фреше за натуралните числа според която отворено е всако множество чието допълнение е крайно.
Има и интересни примери за смислени топологии, дефинирани за множества които изобщо не съдържат числа - в ламбда-смятането има една топология на Скот дефинирана над множество от изотонни изображения между частично подредени множества - никакви числа!

Има и други "стандартни" начини за определяне на топологията. Например чрез посочване на оператор за затваряне удоволетворяващ аксиомите на Куратовски или чрез задаване (посочване) не всички редици (или насочености) в X които избираме да неричаме сходящи към някоя точка, т.е. чрез класове на сходимост.

Трябва да се посочат и стандартните начини за въвеждане на топология при декартови произведения (например R^n) или фактор-топологията при разбиване на X на класове от еквивитност.

Така, че топологично пространство (и непрекъснатост) можем да получим по най-разнообразни причини и това не е нужно да е свързано с метрики.

B33, blagodaria ti za otgowora, no az wobshte ne sam nawatre w topologiata i parwiat, move bi nai-waven wapros, na koito imam nuvda ot otgowor e:
Kakwo e wsashtnost topologiata kato nauka i s kakwo se zanimawa?
Pitah profesora si za towa, no poluchih niakakwi wazklicania, wazdishki i mnogo kofti obiasnenia, ot koito nisto ne mi stana iasno. Zatowa ako si naiasno s towa, pishi...obache po nachin, po koito chowek, koito ne se e zanimawal wobste s neia da mu stane iasno za kakwo wsastnost stawa wapros. Dokolkoto razbiram towa e mai nesto, koeto se zanimawa s neprekasnotost kato cialo, izpolzwaiki dosta teoriata na mnovestwata. Ako movesh da spomenesh i nakratko niakoi prakticheski prilovenia na towa nesto, bi bilo idealno.

Правилно си разбрал - топологията се занимава с такива неща, като непрекъснатост, граници, сходимост, ... На практика тази теория е извлечена (или получена) чрез абстракции на подобните свойства в реалната права и метричните пространства. Като при всяка по-абстрактна теория целта е била от конкретните случаи (това което знаем за реалната права) да направим обобщения извличайки най основното и важното, след което да го прилагаме в други "подобни" случаи.
Например в университета след като се справим с реалния анализ преминаваме към комплексен анализ, диференциална геометрия, функционални пространства, ... и там отново говорим за сходимост, непрекъснатост, производни и интеграли; приемаме теоремите и фактите, но ако се замислим как се е стигнало (исторически) до тях веднага виждаме ползата от топологията - именно чрез нея са се пренесли техниките от класическия реален анализ в тези по-сложни случаи; ако ние не го осъзнаваме, то математиците доказали тези теореми и построили тези теории се разсъждавали чрез абстакциите на общата топология (а в началото самите те не са го осъзнавали - едва около 1900 година топологията започва да се определя като самостоятелна наука).

Иначе основния език на топологията е този на теория на множествата, естествено. Основните понятия отворено/затворено множество са аналог на отворен/затворен интервал при реалната права (и това което получаваме от тях с обединение/сечение/допълнение). Тази епсилон-делта техника в метрични пространства просто посочва определени отворени множества заграждащи някоя точка от която се интересуваме; в общата топология не е задължително да имаме метрично пространство, поради което направо се работи в термините на абстрактни отворени (затворени) множества вместо чрез епсилон-делта, понеже нямаме тази възможност да използваме епсилон-делта. Ами това е, ... казано опростено.

За примери, ... ами това са по сложните (от правата и равнината) пространства, в които се занимаваме с непрекъснатост и т.н.т.
Има и по-екстравагантни случаи, но те не са основното.
Най-често срещани и използвани са метиичните пространства, а при тях си имаме епсилон-делта и общата топология не ни трябва много (освен за по-теоретични разсъждения).

Пример в логиката:
Например по-особено (екстравагантно :) приложение е онази топология на Скот в Lambda Calculus за която споменах. С нейна помощ е бил построен модел на ламбда смятането (става дума за модел в смисъл на теория на моделите и математическата логика). При него ламбда термите притежаващи нормална форма са точно непрекъснатите функции в тази топология. Преди това не се е знаело как де се построи такъв модел поради мощностни съображения, понеже ламбда термите са някакви функции които се прилагат върху себе си (а не върху числа или нещо друго); Значи имаме едно множество от функции, на които като аргументи можем да подаваме само функции от същото множество и резултата е отново само функция от същото множество.
Но не зная до колко този случай е полезен.
Все пак в топологията може да има и друга далавера, ама все още не я зная.
Надявам се някой ден да се чатна по въпроса :)

/b33
PS. Моята информация по топология съм взел от книгата на Кели, "Обща топология", която в България може да се намери в библиотеките в руски превод. Но е старичка - от прeди 50 години.
PPS. Lambda Calculus е раздел от логиката, но ако те интересува има една книга на Барентрегт - той се смята за най-голямия жив спец по въпроса - [линк]

Boiko (b33),

Tova, koeto opisvash, e spored men dobra predstava za point-set topology, ili obshta topologiya. V momenta tuk v bratskata amerikanska strana ya slagat v edin kyup s teoriyata na mnozhestvata i logikata. Dori M.E. Rudin se, mislya, samo-kvalificira kato topolog.

Tova, koeto tuk se razbira pod topologiya, e po-skoro, algebrichna, diferencialna i pr. topologiya. V mnogo otnosheniya tova e po-blizko do nachalnata predstava za topologiya na Riemann, Moebius, i dr. Tova e nauka, kydeto se izuchavat geometrichni svoistva na prostranstvata, koito se zapazvat pri opredeleni transformacii. Za algebrichnata--tova sa homotopiite (t.e. kak mozhem da deformirame opredeleni neshta). Za diferencialnata, tova biha bili difeomorphismite i pr.

Algebrata e shiroko zastupena v tezi, osobeno kato v izlozhenieto na homotopy theorey, homology and cohomology. Tezi sa osnovni sredstva (osobeno poslednite dve), koito davat neochakvani rezultati.

Boian

Boian, towa koeto opiswash za deformirane na tela i prochie, wkluchwaiki topologiata kato sredstwo ne e li wsashtnost continuous geometry. B33 dade opredeleno po-izcherpatelen otgowor ot daskala mi po analiz , no az wse pak iskam da razbera zasto po-diawolite gadniat Rudin nameswa topologia w analiza i mi trowi i bez drugo tevkia viwot tuk. Wsashtnost az znam otgowora do izwestna stepen-za da predstawi niakakwi obobsteni koncepcii, koito po-kasno ste swarshwat rabota pli analiziraneto na chisto abstractni i slovni structuri, chiito indiwidualni swoistwa e trudno da se otkriat, no se znae,che te mogat da se klasificirat kam opredelena grupa i ot tam mogat da se izwleche polezna informacia za tiah. I wse pak ne sam naisno s cialata "kartina."
Imam i edin drug interesen wapros:
W domashnoto mi po analiz e wkluchen niakakaw chasten sluchai na niakakwa teorema na Sharkovskij, koito glasi "Period three implies chaos" i towa se dokazwa s neprekasnotost. Dokazatelstwoto ne e nesto koi znae kolko trudno, no me interesuwa kakwo po diawolite oznachawa towa "Period three implies chaos."