Stereometriq

Probvaite se na takava zadacha. Da se dokaze, che radiusa na opisanata okolo tetraedyr sphera e tri puti po-golqm ili raven na tozi ot vpisanata (R>=3r).

SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO

Az ikonomista q reshih vie nemozete. Kakvo vi stava!?

SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO

A vyarno li e, che okolo vseki tetraedyr mozhem da opishem sphera. Kakto i vyarno, li e, che mozhem da vpishem takava?

Boian

Да!

ti seriozno li si aspirant po matematika...

Ami da seriozno sym aspirant po matematika.

Boian

.

nali v FMI-to ste golqma rabota. Parichna nagrada li vi trqbva za da si razmurdate stafidkite ili prosto tolkva sa vi vuzmoznostite.
P.S. Mezdu drugoto ako q dam na srednoshkolci (SMG, NPMG) mislq che ste se opravqt po-dore ot vas. Derzaite

SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO

za parichna nagrada (dostatychno goljama de) vednaga she ti ja reshim
inache e dobre, che i sam si znaesh, che kato si ikonomist si po-nisshe syshtestvo (pone tova sam si si go kazal v po-gornija posting, makar i nejavno)

mi praw si - to wseki srednoshkolec mozhe da q reshi taq zadacha...ne samo ot SMG ili NPMG mi ot wsqko OU syshto she ti q reshat...

ta eto ti e edno reshenie i stiga si digal shum :

znachi za wseki tetraedyr imame che obemyt e V = (h*S)/3 za proizwolna negowa wisochina h i lice S na sreshtupolozhnata strana.
Oznachawame chetirite wisochini s h1, h2, h3 i h4, a syotwetnite lica s S1, S2, S3, S4
Oswen tuj imame che h1 <= r+R, h2<=r+R, h3<=r+R, h4<=r+R

oswen towa za V imame syshto che V = r*(S1+S2+S3+S4)/3 (twa se poluchawa ako tetraedyryt se razdeli na 4 po-malki tetraedyra s obsht wryh centyra na wpisanata sfera)

sega weche poluchawame sslednoto:
4V = 4*((r*(S1+S2+S3+S4))/3) = (h1*S1)/3 + (h2*S2)/3 + (h3*S3)/3 + (h4*S4)/3 <= (r+R)*S1/3 + (r+R)*S2/3 + (r+R)*S3/3 + (r+R)*S4/3

demek
4*(r*(S1+S2+S3+S4))/3 <= (r+R)*(S1+S2+S3+S4)/3 , ekwiwalentno na
4*r <= r+R , ekwiwalentno na 3r <= R, koeto trqbwa da se dokazhe

rawenstwo se dostiga za prawilen tetraedyr shtoto togawa h1=h2=h3=h4=r+R

A koi te izluga, che h<=R+r ?!!!! Kontra primer- pravilna triugulna piramida s ugul po-golqm ot 45 grad. koito skliuchva okolen rub s osnovata.

SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO

No izkarvast poveche pari!

SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO

a be, za tva ne sym mnogo siguren, ama shtom te vleche da si mislish taka ....

A ti vmesto samo da plqmpash vzemi reshi zadachata. Ili puk e neposilna za "matematicheskoto" ti obrazovanie. Moga da ti dam i po-trudna ama aide po-posle da ne te otchaqm napulno.

SALUS POPULI SUPREMA LEX ESTO

Hey, za6to e tova otno6enie...haide, koito zadava zada4ata da si kaje nakraia kakvo re6enie predlaga...vie edni takiva ste si zlobni edin kum dryg...mnogo e kofti taka.Az u4a v I AEG i makar i da ne moga da re6a zada4ata ne mislia, 4e koito e matematik e cenatara na vselenata...predi vsi4ko sme hora - sled tova u4enici, hora s profesii, u4astnici v ob6testvenite processi and so on.Zatova 6te izpitate po-goliamo udovletvorenie ot interaction-a, ako si imate uvajenieto i ne zabraviate, 4e ni6to ne stava ot vednaj - nie gre6im za da se nau4im da pravim pravilno...

edno ot nai svestnite mneniq deto izobsto sum chel v mrejata!

Да, мнението е свестно и много на място.
Все пак ние сме анонимни и тук обсъждаме математиката е не лични качества.

Не виждам в случая кой в какво е прогрешил, ... но всe пак наистина хората трябва на първо място да се уважават. И не е много честно някой да извади задача от произволен учебник и да предизвиква другите да я решат просто така ... поне да даде разяснение - от къде идва задачата, защо ние да се напъваме да я решаваме ... иначе и аз мога да се разровя в библиотеката и да сложа гадна задача ... ама за какво да го правя? ако ще питам нещо то ще ми е проблем просто ще искам пощ :) иначе е безсмислено.

Ама това е нецензуриран клуб и всеки може де пише каквото му е угодно и както най-добре го кефи :) Това място още не е станало за публикуване на научни статии - по-скоро е за взаимопомощ и забавление :)

Така, че да говорим по същество и без лични нападки.

Tazi zadacha sas stereometriata e imam reshena, ne wivdam i kakwo osobeno ima w neia, prosto otnoshenia w piramida a i e bezmisleno towa niakoi da publikuwa glupawi zadachi, na koito znae reshenieto i da se nadiawa drugite da ne ia reshat, shtoto taka ste izglevda welik w sobstwenite si ochi. Matematikata ima hiliadi oblasti i ne movem da badem dobri waw wsicki ot tiah. Naprimer tuk w germany wobste ne obrastat mnogo, mnogo wnimanie na elementarnata geometria i ako im se dade takawa zadacha, ste srestnat dosta golemi problemi s neia, no pak horata sa dosta, dosta dobre w analiza i go uchat mnogo po-razlichno ot nas, izpolzwat sawsem drug podhod i te mogat da ti dadat zadacha, na koiato dosta da se izpotish. Tazi, koiato pisha sega e ot domashnoto mi po analiz za poslednata sedmica i ne uspiah da i resha wapreki hintowete. Ako niakoi znae kak stawa, neka pishe, che az i bez drugo niamam poweche wreme za neia.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Neka I=[0;1] i f:I-->I bade neprekasnata funkcia, koiato ima tochka p prinadlevasta na I takawa, che f(f(f(p)))=p, kadeto p razlichno ot f(p) (tochkata p ima period 3). Dok. che za wsiako n prinadlevasto na estestwenite chisla kato n po-goliamo ili rawno ot edinica, sashtestwuwa Xn prinadlevasto na I sas period n, t.e. f^n(Xn)=Xn, takowa che f^k(Xn) razlichno ot Xn, kadeto k=1,2,...,n-1
NB! f^2 oznachawa f(f(x)), f^4(x)=f(f(f(f(x)))) i t.n.
Hint:
Neka p1=f(p) i p2=f(f(p)) i priemete, che p<p1<p2. Neka I1=[p1,p2]. Ima interval
I2 prinadlevasht na [p,p1] sas f(I2)=I1; ima interwal I3 prinadlevasht na [p1,p2] sas f(I3)=I2 i t.n. ima interwal In prinadlevast na [p1, p2] sas f(In)=I(n-1). Dok., che ima f^n(In) sadarvast In i taka ima Xn prinadlevasto na In. W reshenieto na tazi zadacha se izpolzwa kavi rechi mai samo intermediate value theorem, w bg izwestno kato Bolzano-Cauchy t.e. f neprekasnata, ima f(a)>0, ima f(b)<0 =>
ima x takowa, che f(x)=0

tyj...gledam tuka edna sedmica me nqma i stawa mele w toq thread ;)

mi praw si, neshto tuj reshenie e malko pribyrzano no ideqta si e syshtata

znachi nabyrzo poprawka:
oznachawame s t1, t2, t3, t4 razstoqniqta ot centyra O na opsianata sfera do stenite na tetraedyra
1 sluchai) O e wytre w tetraedyra
togawa V = r(S1+...+S4)/3 = t1*S1/3 +...+t4*S4/3 [1]

i imame h1 <= R+t1, ..., h4<=R+t4

i 4V = 4r(S1+...+S4)/3 = h1*S1/2 +...+h4*S4/3 <=(R+t1)*S1/3+...+(R+t4)*S4/3 = R*(S1+...+S4)/3 + t1*S1/3+...+t4*S4/3
sega ot [1] sledwa

4r(S1+...+S4)/3 <= R*(S1+...+S4)/3 + r*(S1+...+S4)/3
ekwiwalentno na 4r <= R+r ekwiwalentno 3r <=R

2 cluchaj) O e izwyn tetraedyra, situaciqta e syshtata s malka razlika
za 3 ot wisochinite e izpylneno hi<=R+ti, a za polsednata h4<=R-t4 (towa e za wisochinata sreshtu stenata koqto se "probiwa" ot radius - ima samo 1 takawa)
i oswen tuj V = r(S1+...+S4)/3 =t1*S1/3+t2*S2/3+t3*S3/3 - t4*S4/3 [2]

sega pak kato po-gore

4V = 4r(S1+...+S4)/3 = h1*S1/2 +...+h4*S4/3 <=(R+t1)*S1/3+...+(R+t3)*S3/4+(R-t4)*S4/3 = R*(S1+...+S4)/3 + t1*S1/3+...+t3*S3/4 - t4*S4/3

i ot [2] sledwa
4r(S1+...+S4)/3 <= R*(S1+...+S4)/3 + r*(S1+...+S4)/3
ekwiwalentno na 4r <= R+r ekwiwalentno 3r <=R

gledam nekwi dwoiki i chetworki ima tuk tame kato znamenatel - wsichki te da se chetat kato troiki ;)