Teoremata na Weierschtrass

Moje li nqkoi da ni obqsni po-podrobno tazi teorema. A kude moga da namerq dokazatelstvoto i. Blagodarq vi predvaritelno!

hmm...toi weierstrass ima baq teoremi kato se zamislq...i wsichkite se kazwat "teorema na weierstrass"

Понятия, които ще използвам:
1. неограничена функция - ако за всяко число f(a)= А>0 може да се намери b>0, такова че за произволно х от дефиниционното множество на f , различно от а и |x-а|<b, винаги да следва, че f(x)>A .....{т.е. винаги могат да се намерят и още по-големи стойности за f(x)}
2. Да е ограничена една функция означава да са ограничени функционалните и стойности.
3. компактно множество - за всяка редица от точки, може да се намери подредица, която е сходяща към елемент на множеството{това е само една от дефинициите за компактно множество}
4. Теоремата за двата полицая - ако а < б < в , ако при някакъв граничен преход се окаже, че а и в имат една и съща граница, тогава и б има тази граница!

Т : Всяка непрекъсната функция, дефинирана в затворен интервал К(компактно множество) , е ограничена!
Д-во:
Допускам, че f(x) е неограничена => за всяко A>0 , |f(x)|>A. В такъв случай можем да си сложим А=1 и да кажем, че съществува някое х1, за което е изпълнено |f(x1)| > 1. По същата логика можем и да сложим А=2 и да кажем, че съществува х2, за което | f(x2) | >2...... и т.н. По този начин си конструираме редица от елементи от дефиниционното множество на f - K, а
именно {Xn}, за която е изпълнено |f(Xn)| > n . Щом е редица, значи си има подредици! Ще изберем една подредица на {Xn} - {Xnk}. Нейните елементи са от дефиниционното множество K , което по уловие е компактно и за това можем да сме сигурни, че {Хnk} е сходяща към някое z от K! Понеже
f е непрекъсната, сигурни сме, че f(Xnk) съществуват и така, както конструирахме редицата знаем, че |f(Xnk)| > Nk>n {нали |f(Xn)| > n и за това:)} И понеже {Хnk} е сходяща към z оказва се, че и {f(Xnk)}(редицата от функционални стойности) e сходяща към f(z)! А има една теорема, която
гласи, че всяка сходяща редица е ограничена!!!
Оказа се, че |f(Xnk)| > Nk>n и едновременно с това, че {f(Xnk)} е ограничена! това е противоречие, което се дължи на допукането в началото => не вярно, че f е неограничена => тя е ограничена!


Т: Вайерщрас - Всяка такава функция не само е ограничена, но достига в К точната си горна и точната си долна граници


Д-во:
{Доказва се само за едната, за другата е аналогично. Ще я докажа за горната}

Щом f е ограничена, значи функционалните и стойности са ограничени, което по Дф озночава, че имат точна горна и долна граници!(друг е въпросът дали ги достигат) . Тогава има някое f(Xo) =Горната граница(ще я бележа ГГ:). Ако някое число i е > 0, тогава ГГ- i < ГГ . f е непрекъсната => има някое
f(xi) {имам предвид, че х зависи все пак от i}, за което е изпълнено:
ГГ - i < f(x)< ГГ. Ама i го избрахме произволно положително, значи може да е 1/2 , 1/3......и т.н. до 1/ n! И тогава х, понеже зависи от i , излиза, че пак сме си конструирали редичка и за нея :
ГГ - i < f(Хn) < ГГ. За {Хn} можем да си изберем {Xnk}, която със сигурност е сходяща към някое z от К. Тогава и f(Xnk) е сходяща към f(z).
Ама ГГ - i < f(Xnk) <ГГ! Ако сега направим граничен преход за к, клонящо към безкрайност, тогава n ще клони към безкрайност,а i=1/n ще клони към 0, тогава (ГГ-i) ще клони към ГГ. f(Xnk ) ще клони към f(z), а ГГ към ГГ:). От теоремата за двата полицая знаем, че в такъв случай f(z)=ГГ, z беше от К, което означава, че ГГ се достига в К!