[0,1] и (0,1)

Можете ли да ми кажете как се доказва, че интервалите [0,1] и (0,1) са равномощни. Трябва ми конструктивно доказателство, с конкретна биекция, а не да се използват факти, като този, че ако [0,1] се влага в (0,1) и (0,1) се влага в [0,1], то те са равномощни.

Мерси предварително!

Ami mislya che konstruktivno dokazatelstvo nyama. Ako se ne lyzha se izpolzva aksiomata na izbora i to syshtestveno.

Boian

Според мен може конструктивно да се построи биекция. Намерих f:[0, 1]-->(0, 1) която се записва

(1) f(x) = 1/2, ако x = 0;
(2) f(x) = 1/4, ако x = 1;
(3) f(x) = 1/(2^[n+2]), ако x = 1/(2^n) за някое n > 0;
(4) f(x) = x в останалите случаи.

Единственото съмнение е дали f е биекция и дали в (3) можем да отговорим конструктивно на въпроса "ако x = 1/(2^n) за някое n > 0". Неформалната идея за тези формули е такава. Записвайки числа от [0, 1] в двоична бройна система, те ще изглеждат нещо като

0.0100111011...

или разглеждайки само мантисата (понеже цялата част винаги е 0) това са все едно всички крайни или безкрайни редици от 0 и 1. Нулата може да ни се представи като 00...0... а единицата като 11...1...

Между тези редици са рационалните числа имащи вида 1/(2^n) със специалната форма 0....01. Можем да изобразим нула в крайната редица 1 (или 1/2) а единица в крайната редица 01 (или 1/4). Числата от (0, 1) с вид 1/(2^n) изобразяваме в 1/(2^[n+2]) което е все едно да добавим две нули в ляво на редицата; това ни освобождава 1/2 и 1/4 за нулата и единицата.

Това е конструктивно ли е?


/b33
PS. Обикновенна машина на Тюринг не върши горната работа, понеже иска краен вход и по принцип работи само с цели; освен ако не разширим това понятие.
PPS. Тази биекция не е топологически хомоморфизъм ама вие си знаете, че не може и да има такъв понеже [0, 1] е компактно а (0, 1) не е.

Май си прав, защото и аз го направих по сходен начин и ми се струва, че идеята е същата. Ще напиша моя вариант за сравнение. Дано не греша. Разглеждаме интервала [1/3,2/3] - вътрешен за [0,1]. В интервала [1/3,2/3] разглеждаме произволна безкрайна редица {a_n} със свойството, че ако n \=m, то а_n \= a_m (при теб това е 1/2^n) и такава, че a_1=1/2 и a_2=2/3. Тогава дефинираме изображението f : [0,1] -> (0,1) по следния начин:

f(0)=1/3;
f(1)=2/3;
f(a_n)=a_(n+2);
f(x)=x, за x от (0,1)\{a_n}.

Тогава изображението g : (0,1) -> [0,1]

g(1/3)=0;
g(2/3)=1;
g(a_n)=a_(n-2), за n=2,3,4,.....;
g(y)=y, за y от (0,1)\{a_n}.

има свойството f(g(y))=y и g(f(x))=x, т.е. g=f^(-1) e обратното на f, т.е. f e биекция.

Мерси за отзивчивоатта. Много ми бе интересно да видя различни гледни точки.

Да, бе да. Става с всякаква такава вътрешна за интервала редица. Например с 1/3^n пак става. Аз написах онова за 2-ичната система, понеже така се сетих (сигурно защото съм програмист).

Малко ме смущаваше думата "конструктивно", понеже съм виждал на някои места да я обсъждат конкретно и формално. Имаше едни, за които конструктивно е да се намери определена рекурсивна функция (което е все едно машина на Тюринг да може да направи сметката). Други го възприемат по-широко или по-тясно. Но няма значение - да не философствам излишно.

... какво стана със задачата за матрицата? Няма ли да каже някой (например ти) какъв и е смисъла и как се доказва. Ако е дълго, поне малко подсказване. Интересно ми е ...