x=x(t), y=y(t)

1.Neka

x=f(t)
y=g(t)

opisva traektoria v dvumernoto prostranstvo. f-ite f i g sa dadeni.
Posledovatelnite (otnosno t) tochki na presichane s prava y=const (eventualno y=0) da kajem sa (x1,const), (x2,const), (x3,const)..., tuka x1=f(t1),x2=f(t2),x3=f(t3)... t1<t2<t3 i t.n.

Kak da se izrazi rekursivno Xn+1=H(Xn), t. e. vida na f-yata (operatora) H v zavisimost ot f,g
yasno e che tozi operator triabva da e ednoznachno opredelen ot f i g


2. Ako x=f(t), y=g(t) ne sa yavno dadeni, a sa reshenie na diferencialnata sistema v obshtia sluchai

x'=Fx(x,y)
y'=Fy(x,y) /proizvodnite sa po t/

(ottuk f i g teoretichno se opredeliat s tochnost do konstanta)
dopuskame che ot mnojestvoto traektori opredeliame 1 konkretna minavashta prez X0, Y0

kak shte se izraziat posledovatelnite (po t) x-koordinati na presechnite tochki na traektoriata s prava y=const v zavisimost ot Fx, Fy

toest vida na operatora H (v zavisimost ot Fx i Fy) za koito
Xn+1=H(Xn)



3. Obratnata zadacha
Dadena e v yaven vid rekursivnata zavisimost H

X0=a,
Xn+1=H(Xn)

Kudeto Xn-1, Xn, Xn+1... sa posledovatelnite tochki na presichane s prava y=const na niakakva traektoria(parametrizirana po t) v ravninata
Xn-1, Xn, Xn+1 sa posledovatelni po t, ne po stoinost na x

Da se nameriat NIAKAKVI funkcii x(t), y(t) v yaven (kakto v 1), ili v neyaven vid(t.e. da se nameriat Fx i Fy kato v 2), koito da udovletvoriavat rekursivnata zavisimost
Tuka yasno e, che reshenieto e mnogoznachno interesuva me metod za postroyavane na pone edni takiva


4. Ako
Xn+1=qXn(1-Xn)
X0=a

q,a sa parametri

mojete li da dadete primer za traektoria

x=f(t)
y=g(t)

s konkretni f i g, koyato da porajda tezi x-koordinati pri presichaneto s abscisnata os

i kajete kak ste gi postroili

Interesni vuprosi. Da si kazha i az kompetentnoto mnenie

1. Ami ne e izobshto sigurno, che a) tochkite sa dori izbroimo mnogo i b) mogat da se podredyat taka kakto kazvash. Edin primer e s t.nar. space-filling curve. Tova e neprekysnato izobrazhenie na [0,1] v/u [0,1]x[0,1]. Prekaray, pravata y=1/2 i taka poluchavash neizbroimo mnogo presechni tochki. Vtoriya primer e krivata y=x^2sin(1/x) i y(0)=0. Tova e neprekysnato diferenciruema kriva, no presechnite i tochki s y=0, imat 0 za tochka na sgystyavane i ne mogat se podredyat taka lesno v t_0<t_1<.... po narastvane na t. Posledniyat primer s umnozhenie s podhodyashti bezkraino diferenciruemi funkcii s kompakten nositel mozhe da se douslozhn, kato tochkite na sgystyavane stanat izbroimo mnogo.

Inache, ako funkciite f i g sa analitichni, neshtata korenno se promenyat. Togava sys sigurnost imame izbroimo mnogo resheniya bez tochki na sgystyavane. ....

Tova e samo edna nasoka.

Neka tursim presechnite tochki s y=c. Togava, t_i \in \{ g^{-1}(c)\} i x_i=f(t_i).... Dali x_n zavisi samo ot x_{n-1} suvsem ne e sigurno. Ot druga strana izobshto ne e sigurno kak t_i zavisi ot g i c. Kato cyalo dori moshtnostta na mnozhestvoto {g^{-1}(c)} ne zavisi neprekysnato ot c, taka che pochti nyamam nadezhda.

Mislya, che kato cyalo zadachata tryabva da se konkretizira dopulnitelno, mozhe bi kato se utochni vida na krivata.

2. Ne vizhdam kak tova promenya postanovkata.

3. Otnovo problem. Po-gore govorih za tova kak s neprekysnati krivi i krivi ot rod C^\infty pochti e nevyzmozhno da se obozrat neshtata. Ta znachi dopuskame che tochkite x_1, x_2, .... sa ni izvestnil. Dopuskame, i tova e vazhno, che mnozhestvoto ot tochki nyama tochka na sgystyavane. Togava, spored teoremata na Weierstrass mozhem da namerim cyala analitichna funkciya, h(z) s nuli v tezi tochki. Togava, grubo kazano x=Re[h(z)] i y=Im[h(z)] biha bili nashite funkcii. .... Ako tochkite sa kraen broi, to mozhem da vzemem polinom...

Ama ako tochkite se sgystyvat nyakyde, nemam si predstava.

A inache she si pomislya po logistic modela.

Boian

1. Da, prav si, che se nujdae ot izvestni doutochnenia.
Znachi, y(t) i x(t) sa diferenciruemi i dostatuchno gladki (po t).
Interesuva me samo sluchaya kogato presechnite tochki sa izbroimo mnogo (no ne kraen broi).
Drugite sluchai ne gi razglejdam, zashtoto:

A) Ako mnojestvoto ot presechnite tochki e po-moshtno ot izbroimo mnogo, to e yasno che x-koordinatite na tochkite ne mogat da se predstaviat vuv vida
Xn=H(Xn)
Xo=a,
poneje vsiako takova rekursivno predstaviane ima samo izbroimo mnogo chlenove i ne moje da obhvane cialoto mnojestvo
Osven tova ne znam dali tozi sluchai ne se izkliuchva ot diferenciruemostta po t

B) Ako mnojestvoto ot presechni e kraen broi, to rekursivnia operator se svejda samo do purvata si stupka:
X1=A1
X2=A2
.....
Xn=An

Kato stoinostite mogat da se izchisliat s chislen metod naprimer i da se sortirat s kraen broi stupki.

Znachi pod rekursiven operator imam predvid algoritmichno realiziruem, t.e. takuv pri koito s kraen broi stupki moje da se poluchi Xn za vsiako n.


3. Vsushtnost, istinata e che me interesuva tochno tozi metod, toest dadena e zavisimostta Xn=H(Xn) -> da se postroyat funkciite
Za kraen broi tochki vuprosa e bezinteresen (vij po-gore)

Ne vijdam kakvo ti prechi tochkata na sgustiavane.
Naprimer, ako sistemata e
y=sin(1/t)
x=t

presechnite tochki s y=0 se poluchavat pri t_k=1/(k*pi+pi/2), t_k+1=1/(k*pi+3/2*pi).....

ottuk mojem da izrazim t_k+1 kato f-ya na t_k

Togava X_t+1=Fn(X_t), kudeto Fn e tazi funkcia (ne mi se pishe sega v yaven vid)


I vij sega obratnia put:

Dadeni sa yavno tochkite na presichane v rekursiven vid
X_t+1=Fn(X_t)
X_0=2/pi (pri k=0 naprimer)

s neposredstvena proverka mojesh da ustanovish, che sistemata
x=t
y=sin(1/t)
udovletvoriava taka zadadenite tochki na presichane

Tova e naglasen primer, razbira se. No kakvi podhodi mogat da se izpolzvat v razlichni konkretni sluchai?
Interesnoto e, che pri konstruiraneto na funkcia imam na pruv pogled mnogo goliama svoboda, no vsushtnost opra li do konkreten primer i zapecvam, niamam idei. S naluchkvane na niakakvi nelineini substitucii moje i da stane, no tova si e chisto naluchkvane.

Logistik modela e samo primer. Ako iskash izmisli niakakvo drugo diskretno rekursivno izobrajenie (moje da ne e tolkova idiotsko kato logistik-a, da ne e i trivialno), i se opitai da postroish gladka funkcia, koyato da presicha abscisata v tazi posledovatelnost

Ami kakvo mi prechi tochkata na sgustyavane:

Ako vzemem analitichna funkciya, to neinite nuli ne mogat da se sgustyavat. Funkciyata t ->(t, sin(1/t) ne e analitichna. Inache tova si e napulno dobra kriva.

Primera e dobur zashtoto ilyustrira dobre trudnostite.

dobre da vzemem presechnite tochki na t->(f(t), g(t)) s y=0. ostanalite se pravyat analogichno. Ne mislya, che bi nameril algoritym. Dori i da sa bezkraino gladki, tezi funkcii mogat da budat dostatuchno gadni. Nikyde ne sym vizhdal nachin za namirane na vsichki resheniya na (g(x)=0).

Inache za obratnata zadacha. Tam prosto se podvedoh po slozniya put . Dobre e ponyakoga chovek da si spomnya i prostitite neshta.

1. Postroy vurhu vseki interval [x_n,x_{n+1}] triugulna funkciya, t.e. kombinaciya ot dve lineini funkcii. Tova ti pokazva kak da namerish funkciya. Mislya, che tova e dori algoritmichno dobre. (ne sym siguren). Tuk priemam che tochkite sa presechnite tochki s y=0.
2. Tova ti dava neprekysnata funkciya. Ottam natatuk mozhesh da si ya izglazhdash. Za tova ima standartni metodi.

Oshte edin nachin. V/u vseki edin interval (x_n,x-{n=1}) postroi polykryg. reduvai v gi v razlichni poluravnini. Tova ti dava gladka kriva....

Izobshto, opitai se purvo da poglednesh neshtata v razlichni intervali i posle da gi slepish po podhodyasht nachin.

E tolkoz...Komentari?

P.S. x=t y=sin(1/t) presicha y=0, tochno kogata t=1/(k*pi), no tova sa drugi detaili