прости числа

Каква според вас е причината простите числа да се разреждат в безкрайност.

Както обикновенно, термина "омега-" се използва за понятие свързано с безкрайна, но изброима съвкупност.
В случая с теория на числата (можем да си мислим теорията получена от аксиоматиката на Пеано) това означава следното.

Нека Ф(x) е твърдение в някоя теория на числата. Нека сега разгледаме безкрайната но редицата изброима редица от твърдения

Ex Ф(x), ~Ф(0), ~Ф(1), ~Ф(2), . . .

Разглеждайки тази редица, може да заподозрем, че не е възможно всички твърдения в нея да са едновременно вярни. Първото твърдение "Ex Ф(x)" ни казва, че за някое x е вярно Ф(x), но пък следващите твърдения ~Ф(0), ~Ф(1), . . . ни твърдят, че Ф(x) не се изпълнява за никое число 0, 1, 2, . . .

Сега, когато в дадена теория на числата, за никое нейно твърдение Ф(x) НЕ СЕ ИЗПЪЛНЯВАТ едновременно всички твърдения от посочената по-горе редица, тази теория се нарича ОМЕГА-НЕПРОТИВОРЕЧИВА.

Както се вижда, това е едно естествено изискване.
То се посочва допълнително, понеже не може да бъде изразено в езика на логика от първи порядък (виж Забележка2 по-долу).

Забележка1. Едно такова изискване за омега-непротиворечивост е разумно, но няма гаранция, че за всяка теория на числата това свойство ще е изпълнено. Прости примери ни дават такива модели, в който чрез добавяне към числата 0, 1, 2, . . . още един обект, "алфа", то горното не се изпълнява. Обикновенно се взема "алфа" така, че "алфа" да не е наследник за никое число (т.е за никое x не вярно "алфа" = x + 1).

Забележка2. Защо ни е необходимо специално понятие, като омега-непротиворечивост? Главно поради факта, че това свойство не може да се формулира в езика на логика от първи порядък. То може да се представи, разбира се, като безкрайната конюнкция

ExФ(x) /\ ~Ф(0) /\ ~Ф(1) /\ ~Ф(2) /\ . . .

Но в езика на логика от първи порядак не е дефинирано понятието "безкрайна конюнкция". Поради това, не сме в състояние да включим въпросното твърдение в аксиоматиката на някоя теория на числата.
Именно поради това, изискването за омега-непротиворечивост се изказва отделно, понеже то не е термин от езика на никоя теория на числата.

:) Извинявам се.
Горния постинг беше за темата "теоремата на Гьодел". Направих грешка и го пуснах тук.

По твоя въпрос.
Аз не мисля, че простите числа се разреждат. Какво имаш в предвид?
Дори относно "разстоянието" между две съседни прости числа имаше един проблем, наречен "хипотеза за близнаците". Той се състои в следното.

Ние знаем, че двойките 1, 2 и 2, 3 са единствените съседни прости числа, т.е. разликата между които е 1.
След това, между числата 3, 5 или 11,13 или . . . разликата е 2. Такава двойка прости числа, между които разликата е 2 се наричат "близнаци"

Има хипотеза (теорема) която твърди, че близнаците са безкраен брой (за разлика от двойките с разлика 1, които са само 1, 2 и 2, 3)

Мисля, че тази хипотеза за близнаците не беше доказана или май имаше някакъв проблем с нея.

Ако на някой са му известни последни резултати, нека да ги посочи.

:) Извинявам се.
Горния постинг беше за темата "теоремата на Гьодел". Направих грешка и го пуснах тук.

По твоя въпрос.
Аз не мисля, че простите числа се разреждат. Какво имаш в предвид?
Дори относно "разстоянието" между две съседни прости числа имаше един проблем, наречен "хипотеза за близнаците". Той се състои в следното.

Ние знаем, че двойките 1, 2 и 2, 3 са единствените съседни прости числа, т.е. разликата между които е 1.
След това, между числата 3, 5 или 11,13 или . . . или 41, 43, или . . . разликата е 2. Такава двойка прости числа, между които разликата е 2 се наричат "близнаци"

Има хипотеза (теорема) която твърди, че близнаците са безкраен брой (за разлика от двойките с разлика 1, които са само 1, 2 и 2, 3)

Мисля, че тази хипотеза за близнаците не беше доказана или май имаше някакъв проблем с нея.

Ако на някой са му известни последни резултати, нека да ги посочи.

Ami,

Boiko, zavisi kakvo razbirash pod razrezhdane. Dokolkoto mi e izvestno oshte ne e reshen vyprosa za bliznacite. No, mozhem da poglednem t.nar. Teorema za prostite chisla.

Ako s pi(n) oznachim broya na prostite chisla ne nadminavashti n, to mozhem da dokazhem, che
\lim_{n \to \infty} \pi(n) /( n \log n )= 1

t.e. \pi(n) e asomptotichno ravno na n/log (n)

Stava vypros za estestvinya logaritum tuk.

V dokazatelstvoto se izpolzvat ocenki za broia na nulite na Rimanovata zeta funkcia. Vizhda se, che ako Rimanovata hipoteza (vsichki ne regulyarni nuli da sa na pravata Rez=1/2) e vyarna, to tozi rezultat bi dal nai-burza shodimost po-gore.

Tova e mai nai-izvestniya rezultat.

Boian

Vizhdam, che Boiko priema 1 za prosto chislo. Za 1 v kraina smetka tova si e vapros na izbor i udobstvo dali shte go priemem za prosto ili ne. Vse pak, ako go priemem za prosto togava ne mozhem da kazhem, che vsyako tzyalo polozhitelno chislo ima edinstveno razlagane kato proizvedenie na stepeni na prosti chisla. Tazi teorema, a sigurno i dosta drugi, shte tryabva da se preformulira. Ne e li po-prosto da priemem, che 1 ne e prosto?

Виждал съм, че във формулировката на тази теорема за представяне се приема 2 за първото просто число.

Не ми е много ясно дали 1 не е просто и защо не е просто. Нали просто число е такова, което се дели само на 1 и себе си, а това важи и за 1?

И какво пречи на теоремата за представянето, ако приемем 1 за просто число? И да участва 1 в произведението, то степените на 1 са 1 и изобщо не променят нищо.

. . . ясно е, че ако позволим на 1 да участва в произведението на представянето, няма да можем да говорим за "единственост".

Ami boiko,

1 ne prosto po definiciya. Za celite chisla, edna ot definiciite na prosto chislo e takova, koeto ima tochno 4 razlichni delitila 1, chisloto i -1, -chisloto.

Po princip mozhem da govorim za nedelimi i prosti chisla vyv vseki edin komutativen prusten.

Neka R e komutativen prusten s edinica.
x e nerazlozhim ako ne mozhe da se predstavi kato proizvedenie na dva elementa vseki ot koito ne e obratim.
x e prost element ako x e neobratim element i vinagi kogato a i b sa elementi na R, i x deli a.b, to x deli pone edin ot elementite a i b.

Lesno se pokazva, che ako R e oblast na cyalostnost (integral domain) to vseki prost element e nerazlozhim. [ Naistina ako x e prost i x=pq, to x | pq. togava x |p ili x | q. Da dopusnem, che x|p. No p|x. Sledovatelno, p=ux, kudeto u e obratim element. Togava, x=upx i 1=up (tuk izpolzvame, che R e oblast na cyalostnost). Tova pokazva, che p e obratim element. T.e. x e nerazlozhim element.]

Obratnoto ne vinagi e vyarno. To vazhi v t.nar. unique factorization domains (UFD).
V tyah e vyarna teoremata za edinstvenoto predstavyane kato proizvedenie na nerazlozhimi elementi, s tochnost do obratim element. (taka mozhem da govorim za edinstveno razlagane na celi otricatelni chisla...). Sushto taka vseki principal ideal domain (PID) e UFD.

Tova e posokata, v koyato algebrata obobshtava edinstvenostta na razlaganeto.

Vupros: kak e na Bulgarski Principal Ideal Domain i Unique Factorization Domain.

Boian

P.S. Tuk citiram teoremi po pamet. Pochti sum siguren, che sa verni. Shte gi proverya tazi vecher i ako ima korekcii shte se obadya. (Vse pak algebrata ya vzeh predi godina :)

B.

Zdravei, Boian
Na balgarski PID e oblast na glavni ideali (OGI),
a UFD ili go prevejdat bukvalno(oblast s ednoznachno razlagane), ili se izpolzva prevod prez ruskoto "faktorialnoe kolco".
Terminite ne sa savsem ustanoveni, v poslednite godini mai nikoi ne pisal uchebnik na balgarski definirasht UFD. OGI se sreshta v zapiskite po algebra izpolzvani vav FMI.

Blagodarya za prevodite.

Boian