След като така смело на няколко пъти цитираш разложението в ред по Тейлор или Маклорен, не виждам къде ти е проблема сам да си получиш вида на arc* в степенен ред? Или не знаеш табличните производни, или не можеш да диференцираш рационални функции?

f(x) = sum(i=0..oo, 1/(i!)*(d^i/dx^i f(x)|x=0)*x^i) (бахти ASCII-то)

Нека f(x) е arcsin(x). Нека сме достатъчно завеяни, че да не помним производната на arcsin(x). Тогава тъй като arcsin(sin(x)) = x (за x in [0, 2*pi]), то диференцирайки двете страни по x получаваме (използваме верижното правило):
d(arcsin(sin(x)))/d(sin(x)) * d(sin(x))/dx = 1 или arcsin'(sin(x)) = 1/cos(x). Полагаме sin(x) = y и използвайки, че cos(x) = sqrt(1 - y^2) в интервала [0, pi/2] и следва
arcsin'(y) = 1/sqrt(1 - y^2) = (1 - y^2)^(-1/2)
По-нататък:
arcsin''(y) = -1/2*(1 - y^2)^(-3/2)*(-2y) = y*(1 - y^2)^(-3/2)
arcsin'''(y) = (1 - y^2)^(-3/2) + y*[-3/2*(1 - y^2)^(-5/2)*(-2y)] = (1 - y^2)^(-3/2) + 3y^2*(1 - y^2)^(-5/2)
....

Накрая не ти остава нищо друго освен да пресметнеш производните в точката x = 0:
arcsin(0) = 0
arcsin'(0) = 1
arcsin''(0) = 0
arcsin'''(0) = 1

Тогава в разложение до 4-тия член имаш:

arcsin(x) ~ x + 1/6*x^3

Сравнение (с точност от 6 знака):

x | arcsin(x) | x + 1/6*x^3
0 | 0 | 0 (невероятно съвпадение, нали?)
0,1 | 0,100167 | 0,100167
0,2 | 0,201358 | 0,201333
0,3 | 0,304693 | 0,304500
0,4 | 0,411517 | 0,410667
(стойностите на функциите са в радиани, ако това не е очевидно за читателите)

Проблем?

"Всички науки са или физика, или колекциониране на пощенски марки." (Е. Ръдърфорд)