Авторът дава контрапример, срещу диагоналният метод на Кантор. В примера изобщо не става въпрос, че редицата не включва всички реални числа. Да, не ги включва, това проблем ли е? Сега приложен върху тази редица, диагоналният метод на Кантор, дава диагонално число- което дори на всяка стъпка е в редицата- противно на това, че метода трябва да даде число, което е извън редицата. Това е вярно, дори когато процесът приключи и вече разполагаш с крайното диагонално число. То е в редицата.

Дотук почти, буквално превеждам текста. Започвам с интерпретацията.

Аргумента на Кантор е неговият диагонален метод, и по-точно, че числото, което се получи накрая, ще го няма в редицата. Много ясно, че щом имаш множество дадено като редица, то е очевидно изброимо и това не е твърдение, а е дадено по условие. Няма нищо за установяване. Аргумента на Кантор е невалиден, поради друго, защото не произвежда число, което е на всяка стъпка различно от всяко число от редицата, а не както му е достатъчно на Кантор-само за текущото число и тези преди текущото. В случая на реалните числа, понеже Кантор изисква, те да са всички, извода е, че диагоналното число го няма в редицата. В контрапримера, странно защо, се получава число, което си е в редицата дори.

Това изречение ще прозвучи мъгляво, но полученото екстра реално число на Кантор, се намира по нататък в редицата. Имам предвид като редицата се превърти. Мисли така. Имаш предположената редица от всички реални числа. Но взимаш първото число от тази редица и го отделяш в страни (сложи си го в ръкава или го слагаш най-накрая), след това започваш да строиш диагоналното число. Можеш да твърдиш, че то е различно от всяко число, но накрая трябва да го различиш с последното, при което му изменяш най-последната цифра. Когато му измениш най-последната цифра се получава, следното.
Можеш ли да твърдиш, че две числа са различни, ако е сигурно, че се различават само в последната цифра. Може да се случи, че те съвпадат със всичките си първи цифри.

Повтарям се. Ако две числа се различават в последната си цифра, те еднакви ли или различни са?

Верен отговор.
Те са еднакви ако им съвпадат всички останали цифри. Те са различни, ако поне една начална /( на фиксирано място) цифра, много преди тази последна, е друга в едно от числата.


Съвсем друго. Диагоналният метод на Кантор приложен за естествените числа, всъщност работи, той дава число, което го няма в редицата. Дали може това число да го наречем най-голямото естествено число? Това ни позволява да разширим множеството на естествените числа, с новото число. Което може да стане чисто с аксиома. Без аксиома, само знаем, че имаме обект, но не сме сигурни, че е естествено число. Ако е естествено, то трябва да има следващо го също естествено. Трябва ни аксиома, за да го направим изключително, както числото 1, не е предшествано от никое друго. Проблемите идват после. Редиците вече завършват с особен индекс. Математическата индукция не работи. Особенният индекс, може да остане извън обсега n->n+1. Теоремата на Кантор не сработва.

Отново имаме само една безкрайност. Новото множество е изброимо по старата методология. В новата е изброимо по условие.

Новото число може да се нарече-най-голямото естествено число. Проверка. Издържа проверката. Може да го означиш с полегнала 8.
Това и прави Кантор, той установява, че полегналата осмица я няма в обикновеното множество на естествените числа. Но поради изброимостта на разширеното естествено множество, то на полегналата осмица съответства напълно определено крайно (то всички естествени числа са крайни) естествено число, което пък ни казва, че особенното естествено число е в нашата редица.
Но трябва да бъде настъпено след краен брой стъпки.
Защо не може в безкраен брой. Така да се каже, като свършат естествените?

Неизброимостта на реалните числа, не е поради вина на реалните, че били много повече, а поради липсата на най-голямо естествено число. Това, че естествените са с едно по-малко, прави реалните да станатневъобразимо повече.

*Корекцията беше малка, но трябваше да се оправи последното изречение, за да предизвика необходимият емоционален шок или математически такъв.

Редактирано от n7930 на 09.01.17 18:01.