Не си разбрал. Даденият пример показва, че диагоналният метод не работи, като е приложен върху тази проста редица (в известен смисъл достатъчно проста, но не някаква специално подбрана-т.е. защо не произволна) . Методът се проваля, защото не дава число, което не е в редицата. А, напротив, числото е в тази редица.
Т.е. не може да се осланяме на метода да даде число, което не е в редицата.
Някъде в началото писах, какво прави Кантор, за всяко n, той взема n+1, което е различно от n, т.е. той действа с ход напред.
Обаче, ако изпревариме Кантор също с ход, то числото 0.1, го има в редицата 0.11 го има 0.111 го има, и 0.1111 го има и ако продължим при n+2, канторовото число го има в редицата. Както ни учи индуктивният метод, т.е. и числото 0.111111111 (1) го има в редицата.

Другояче, имаме монотонно нарастваща редица, която клони към 1/9. За всяко n, членът на редица е различен от 1/9, следва ли, че редицата не съдържа 1/9.
Някъде в предните постове питах, ако две числа се различават в последната цифра, те еднакви ли са или различни? Май никой не отговори.
Например 0.99999999 (9) в период и 1.0, очевидно са едно и също число. Защото разликата им е по-малка от всяко дребно положително число (- кой да е машинен епсилон, си мисли). Да, не е нула. Те ти диалектика.

Ето ти нещо според Кантор. Отново имаш, монотонно сходяща редица добавяш към множеството от членовете й и границата й. Според Кантор това множество е изброимо, т.е. има редица съдържаща цялото множество. Но в първоначалният вариант, към редица е добавен, член отдясно, където индексите гонят безкрайността. Е, всички естествени числа са използвани за редицата, не е останал един свободен, който да се даде на самата граница, която е различен елемент от всеки друг елемент на множеството, защото редицата е монотонна. Това е във висша степен неинтуитивно.
Броиш овце и ги вкарваш в кошарата, на другият ден ги изкарваш, може да се окаже, че си изкарал само четните, поради което в кошарата блеят още овце. Какво стана с биективността. Защо трябва да има специален начин на номериране на тия овце. Не ли е все едно какъв номер, ще получи овцата, все овца си остава.
"Грешката" в доказателството е, че се конструира число, напротив, това число трябва да се даде отнапред и да тръгне проверка, дали се съдържа в предположената редица съдържаща всички реални числа, т.е. търси се доказателство не с допускане на противното. Такова доказателство не е известно.
Доказателството с допускане на противното не работи, когато имаме множество на реалните числа без едно реално, което не е указано конкретно. Очевидно е, че множеството е неизброимо, но нямаме директно доказателство.

Това разбрах от тази статия. Което и аз подозирах, докато търсих по въпроса и попаднах на нея.

Интересуваме, дали някой знае друга теория на множествата, при която нещата се получават по-интуитивно.

Незнам дали някой може да схване хм тази идея, но се получава, че знаейки кои елементи участват в някакво множество, се получава, че множеството се сдобива с допълнителна структура-във вид на някакъв по-специален елемент, който не е бил мислен преди.

Например, нека дефинираме естествените числа малко по-различно. Нека освен най-малко, имаме и най-голямо естествено число т.е. тогава естествените числа формират верига, която съдържа последен елемент. Такъв последен елемент заличава простите числа. Например, валиден е следният въпрос, четен или нечетен е последният елемент? Ако дефинираме последният елемент, малко по-различно, например той не следва някой елемент специално, но следва всички други вкупом, то математическата индукция спира да работи за така разширените естествени числа. Но такова разширение множество-редица на естествени числа, няма проблем със сходящите монотонни редици плюс границата им. Тъй като математическата индукция не работи, Канторовото доказателство не работи за удължените редици. Трябва да правим специално сравнение на ненамиращото се в редицата реално число с реалното число, което се намира съвсем в края, по-конкретно, трябва да се установи, че конструираното число се оказва различно от напълно произволното число, с което редицата може да завършва.

При интерес бих дискутирал още. Другият участник dxdydz, писа, че това, че реалните числа са неизброими е интуитивно, понеже съществува теорема, че пауър множеството на дадено множество не е в биекция с първоначално даденото множество. Пауър множеството на естествените числа е в биекция с реалните. Та да не се кахъря толкова излишно. Проблемът е, че когато имаш редица от елементи на някакво множество, самата редица може да се разглежда като елемент хм, нека да е от същото множество, тогава редицата веднъж е редица, а веднъж е елемент, т.е. едноелементна редица. Тъй веднъж имаме биекция, а веднъж нямаме биекция с естествените...

Въпрос на терминология. Веднъж реалното число е число, а веднъж е редица, ако решиме да не намесваме границите на редиците, да кажем, че не разбираме какво е граница. Така хем числото го няма в редицата, хем числото е в редицата...Кой разбрал, разбрал. Както може да се пошегувам.