N(d) = число с d на брой цифри
10^(d-1)<=N<10^d

k^2 = NN = N + N*10^d = N*(10^d + 1)
N = k^2/(10^d + 1)

понеже k<10^d+1, следва че 10^d+1 дели k^2 но не дели k, т.е. съществува някакъв делител p^(2m) който дели 10^d+1, a p^m пък дели k.

Toгава записваме 10^d+1=p^(2m)*R, a k=p^m*R*M, следва че N = R*M^2 където R = (10^d + 1)/p^(2m) a пък М^2 е някакъв квадрат дето прави N d-цифрено число.

и ся питаме Паньо да провери факторизацията на 10^d+1, d=1,2,3,.... и търсим фактор на втора или по-висока степен.

за първи път става при d=11: 10^11+1 = 11^2*826446281, N = 826446281*M^2, където M^2 е дву- или три-цифрен квадрат дето прави N с 11 цифри. M^2=16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 дават отговорите за всички 11-цифрени N:
13223140496
20661157025
29752066116
40495867769
52892561984
66942148761
82644628100

И после нататък до безкрай с d>11