Re: Движение / Наука / Природни науки / Математика

Поправям се, сега и аз получих отговор 40, а интервалът се получи като [34, 56].

Причината за грешката беше точността на сметките в OpenOfice Calc (също и в Excel), докато точният резултат се получава с Wolfram Alfa онлайн.

По-долу е решението:

Нека броят имена в списъка да е n. За 50-те мъже имаме 50 - 5 - 2*3 - 5*2 = 29 уникални имена. Оттук е ясно, че n >= 29.

Вероятността за търсената извадка е:

P(n) = C(n,29) * P1("Всички числа са сред 29-те") * P2("За 29-те извадката е точно от вида 6-4-4-3-3-3-3-3-1-1...")

В горния израз последната вероятност не се променя с n, докато първите 2 множителя се променят според n.

Имаме P1(n) = (29/n)^50.

Ако означим накратко R(n) = C(n,29) * P1(n), получаваме:

P(n) = R(n) * P2, където

R(n) = C(n,29) * (29/n)^50.

По принцип P2 е просто константа. Тя участва равноправно и не променя максимума или разпределението на вероятностната функция. Просто трябва да помним, че в горното означение R може да бъде по-голямо от 1.

Разглеждаме P(k+1) / P(k) = ((k+1)/(k-28)) / (1+1/k)^50 =

(1 + 29/(k-28)) / (1+1/k)^50 =

X / Y

Неравенството на Бернули ни дава Y = (1+1/k)^50 > 1+50/k

To:

Y - X > 50/k - 29/(k-28) = (50k -1400-29k) / (k*(k-28)) = 21(k-66.(6)) / (k*(k-28))

Значи при k >= 67 имаме Y > X и P(k+1) / P(k) със сигурност ще е по-малко от 1.

Стойностите от 29 до 66 (и по-нагоре с цел определяне интервала на сигурност) изчисляваме конкретно:

-----
k X/Y R(k) Integral(R(k)) Cutoff on Integral(R(k))
29 5.507550 1.000000 1.000000
30 3.008220 5.507550 6.507550
31 2.180790 16.567922 23.075472
32 1.771150 36.131159 59.206631
33 1.528480 63.993702 123.200333
34 1.369180 97.813093 221.013426 c/o 185.553548 (this row in conf. int.), k = 34
35 1.257420 133.923731 354.937157
36 1.175300 168.398378 523.335535
37 1.112880 197.918614 721.254149
38 1.064180 220.259667 941.513816
39 1.025410 234.395932 1175.909748
40 0.994053 240.351933 1416.261681 Note: Max for R(k), k = 40
41 0.968354 238.922560 1655.184241
42 0.947070 231.361617 1886.545857
43 0.929288 219.115646 2105.661504
44 0.914325 203.621541 2309.283044
45 0.901660 186.176265 2495.459310
46 0.890890 167.867691 2663.327001
47 0.881696 149.551647 2812.878648
48 0.873824 131.859089 2944.737738
49 0.867071 115.221637 3059.959375
50 0.861269 099.905340 3159.864714
51 0.856283 086.045372 3245.910087
52 0.851998 073.679189 3319.589276
53 0.848319 062.774522 3382.363798
54 0.845168 053.252820 3435.616618
55 0.842476 045.007579 3480.624197
56 0.840186 037.917805 3518.542002 c/o 3525.517412 (this row in conf. int.), k = 56
57 0.838249 031.858009 3550.400012
58 0.836623 026.704944 3577.104956
59 0.835271 022.341971 3599.446927
60 0.834162 018.661600 3618.108527
61 0.833269 015.566798 3633.675324
62 0.832566 012.971330 3646.646654
63 0.832033 010.799488 3657.446143
64 0.831652 08.985531 3666.431673
65 0.831406 07.472835 3673.904508
66 0.831281 06.212959 3680.117467
...
244 0.924484 0.000000 3711.070960
245 0.924750 0.000000 3711.070960
246 0.925014 0.000000 3711.070960
247 0.925276 0.000000 3711.070960
248 0.925536 0.000000 3711.070960
249 0.925795 0.000000 3711.070960
250 0.926051 0.000000 3711.070960
...
винаги намаляваща
под 1
Sum:
3711.070960
For 5%:
185.553548
For 95%:
3525.517412
-----