Разглеждаме функцията
f(x) = 1/sin(x) - 1/x

Ще докажем, че за произволно t в интервала (0;pi()/4], е изпълнено неравенството
1-2/pi() >= f(2*t) > 2*f(t) > 0

В горния интервал е изпълнено за всяко х:
(1) х > sin(x)
(2) sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x) < 2*sin(x)

от (2) следва:
(3) 1/sin(2*x) > 1/(2*sin(x))

Образуваме разликата f(2*x) - 2*f(x):
(4) D = 1/sin(2*x) - 1/(2*x) - (2/sin(x) - 2/x)

От (3) следва, че D > 1/(2*sin(x)) - 1/(2*x) - (2/sin(x) - 2/x) = .... = 3*(x-sin(x))/(x*sin(x))

Знаменателят очевидно е положителен, а от (1) следва, че и числителят е положителен.
Получихме, че D > 0 за всяко х в горния интервал. Оттам следва, че е вярно следното:

1-2/pi() >= f(2*t) > 2*f(t)

За удобство го записваме така:

1-2/pi() >= f(t)/2 > f(t/2)

А прилагайки това неравенство N пъти получаваме:

1-2/pi() >= f(t)/2^N > f(t/2^N)

Очевидно когато N клони към безкрайност то f(t)/2^N клони към нула, а f(t/2^N) клони към f(0).

Т.е. f(0) = 0;

Съдържаниет е скрито
Влезте за да го видите

Редактирано от croesus на 31.07.11 22:01.