Здрасти!

"В триъгълник, височината, ъглополовящата и медианата от различните върхове са равни. Да се докаже, че триъгълникът е равностранен."

Един подход е алгебричният: дължините на трите отсчки се изразяват само чрез страните на триъгълника. Получават се две уравнения за три неизвестни (страните на триъгълника). Уравненията са еднородни (хомогенни) от степен 2 и решението се намира с точност до подобие на триъгълника. Трябва да може да се докаже резултатът по този начин.

"По дадени тези три елемента не може да се построи триъгълник, значи ли, че задачата няма решение ?"

Едно решение има - равностранен триъгълник. Дали има повече от едно - не знам. Формално казано, по-горе имаме две уравнения от степен две за две неизвестни. Така че не повече от четири решения са възможни. Но - трябва да се сметне... Построителната задача има безбройно много решения.

Поздрави