>> По диагоналния метод мога да докажа, че ирационалните числа не са изброимо множество.

Тук грешиш, ирационалнитe числа са изброимо много. Понеже заедно с целите и рационалните те са корени на алгебрични уравнения. И понеже под алгебрично уравнение разбираме някакъво полиномиално уравнение с рационални (или цели - все едно) коефиценти, от крайна степен, множествотo от всички такива алгебрични уравнения е изброимo, корeните им са колкото степентa на полинома, значи алгебричните числа -- на които ирационалните са подмножество -- са изброимо много.

С диагоналния метод се доказва, че има не-изброимо много реални числа. Тези които не са алгебрични (т,е. не са корен на алгебрично уравнение) ги наричаме трансцедентни. Числата ПИ=3.14159... и Е=2.71828.. са примери за транцедентни числа.

Следователно, по теоремата на Кантор имаме неизброим брой трансцедентни числа.

Едва в края на 18-ти век (около 1880г) е дойазано че ПИ е трансцедентно от един полски математик. Доказателството се опира на тъждеството на Ойлер: J*exp(x) = j*sin(x) + cos(x), където j е имагинерната единица. Знаело се е по-рано, че Е=exp(1) е трансцедентно.

С това доказателство (че ПИ е трансцедентно) се слага край на популярната задача за "квадратура на кръга", която изисква с пергели линийка от зададен кръг да построим квадрат с еднаква площ. Край - значи неразррешимо. Неразрешимо, понеже обектите които можем да построим само с лимийка и пергел, се изразяват с алгебрични уравнения, но ПИ което участва в смятането на площа на кръга е трансцедентно, и няма как да го включин в резултата ползвайки само линийка и пергел.