Теория на моделите ми е любимата дисциплина, и веднага ще те насоча. Това е основна част от математическата логика.
За основатели на теорията се смятат Тарски, и Абрахам Робинсон. Първоначално са се употребявали димите "западна терория" заради поляка Тарски който е творил в университетите по западния(тихоокенския) бряг а US, и "източна теория" заради еврейна Робинсон подвизавал се в университетите на източния(атлантиическия) бряг на US.
Тематиката на теория на моделите е горе-долу такава .. показана чрез пример:
(1) Взема се един език (алфабет), да речем L={+ 0}, какъвто е езика на теория на групите, интерпретирайки + като двуместна операция (събиране), а 0 като константен символ.
(2) Изписваме аксиомите на теорията - в нашия пример теория на групите - използвайки само символите от езика +, 0, променливи, и логическите символи.
(2.1) x + (y + z) == (x + y) + z --- асоциативност
(2.2) x + 0 == x, 0 + x == x --- аксиоми на нулата
(2.3) (Ey)(x + y == 0 /\ y + x == 0) --- съществуване на обратен елемент
.
Всички твърдения които можем да докажем от горните аксиоми ги наричаме <теореми> в теория на групите.
(3) След като имаме теория, и теореми добре е да посочим какви обекти се подчиняват на тази теория. Посочвайки обектите подчинявайки се на аксиомите, и посочвайки начина на прилагане на символите от езика L={+ 0} върху тях, ние сме построили <Модел> за теория на групите.
(3.1) Като първи пример, вземаме целите числа ...,-2,-1,0,+1,+2,... Очевидно за тях се изпълняват аксиомите, като + си е +, и 0 си е 0
(3.2) Можем да вземем рационалните числа без 0, и да кажем че 0 съответства на 1, а пък + на умножението *. Законите пак са изпълнении, значи построихме друг модел на теория на групите -- нарича се мултипликативна група на рационалните числа.
(3.3) да вземем само числата 0 и 1, и да кажем че 0 си е 0, а операцията + дефинираме така:
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0
Това е групата на целите числа по (модул 2), т.е. двоичната аритметика
---
Това бяха прости примери. Както виждаш в теория на моделите разглеждаме <Език>, после множество от <Аксиоми>, после <Теореми> доказуеми от аксиомите, и най-накрая посочваме конкретно множество от реални обекти (<Модел>) подчиняващио се на нашата теория, указвайки за всеки символ от нашия език на кой реален обект съответства, и всяка операция как се прилага конкретно върху реалните обекти.
. . .
После се обсъждат и доказват такива въпроси, като дали една теория е пълна или не-пълна, дали е крайно аксиоматизируема (като групите), или пък има безкрайно но рекурсивно множество аксиоми(като теория на числата),.. или пък е по-сложна, дали притежава крайни или безкрайни модели, и т.н.
Не може с две думи в интернет да се обясни теория на моделите, но се надяявам да съм ти предал някакво усещане. Темата е красива, и аз м,ного я харесвам.
Теория на моделите е от особен интерес за логици и алгебристи.. а не толкова за хора изкушени в математически анализ и топология. Но да спомена отново за нестандартния анализ (амализ на безкрайн малките) построен от Абрахам Робинсон, един от създателите на теория на моделите.
. . .
|