Подкрепям "harish_chandra" - всичко което е казал, е вярно.

С примера който указа "harish_chandra" е ясно, че множеството Y от всички подмножества на множеството X, задължително е по-голямо от X. Означение: Y = P(X) или Y = 2 ^ X, където P идва от думата power(степен).

Означението Y = 2 ^ X, на практика означава множеството от всички функции g(x) дефинирани над X със стойности в 2 = {0, 1}, със интерпретация g(x) = 0 ако x принадлежи на Мg, и f(x)=1 ако x принадлежи на Mg; значе всяка такава бинарна функция <g> е еквивалентна някакво под-множество Mg на множеството Y.

---
Кнтинуум - диагоналния метод на Кантор
---
Кантор за първи път е доказал, че количеството реални числа (континуума) е по-голямо от количеството натуралните числа.
За да не го пиша тук, давам линк към метода на Кантор:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor's_diagonal_argument

С този метод успешно се доказва, че |X| < |P(X)| за всякакви безкрайни множества.
Значи R е по-голямо от N, после множеството от всички реални функции са повече от R (демек |R| < |R^R|), а после всички реални функционали над R^R са повече от R^R, (демек |R^R| < |R^R^R|), ... и т.н.

---
Пояснение за |.|
---
Понеже сравняваме безкрайни множества M1 и M2, под по-голямо или равно се има в предвид дали има взаимно-еднозначно съответствие между елементите на M1 и M2. Ако има взаимно-еднозначно съответствие между елементите на две множества M1 и M2 ние казваме, че те имат еднаква мощност, и записваме |M1| = |M2|. Иначе, ако M1 строго се влага в M2, записваме |M1| < |M2|.