МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА


УТВЪРЖДАВАМ
ДОЦ. Д-Р ИГОР ДАМЯНОВ
МИНИСТЪР



Т Е М А

за писмен изпит по математика за прием на ученици в осми клас
на държавни и на общински училища - 23 юни 2005 г

Вариант №1

Задача 1.
а) Да се реши неравенството
и да се провери дали числото е решение на неравенството.
б) Пътят от град до град отначало минава през планинска местност, а след това през равнинна местност. Автомобил изминал пътя от до , като в планинската местност се е движил със скорост , а в равнинната местност  със скорост . Обратния път от до автомобилът изминал за по-бързо, като в равнинната местност се е движил със скорост , а в планинската местност – със скорост . Дължината на пътя в равнинната местност е 3 пъти по-голяма от дължината на пътя в планинската местност. Да се намери дължината на пътя от до и времето, за което автомобилът е изминал пътя в планинската местност и в двете посоки.

Задача 2. Даден е ∆ABC, в който , ( е мярката на ) и е ъглополовящата на .
а) Ако , и , да се намерят ъглите на ∆ALC и на ∆LBC, разстоянието от точката до правата и да се докаже, че .
б) Да се докаже, че . През върха е построена права , перпендикулярна на , която пресича правата в точка . Ако , да се намерят (да се изразят чрез ) и . При какви стойности на задачата има решение?






Кратки решения на задачите.
Задача 1.а) От неравенството след тъждествени преобразувания получаваме неравенство , което има решение ; . Числото и тъй като , то и следователно е решение на неравенството.
б) Означаваме с дължината на пътя в планинската местност. Тогава дължината на пътя в равнинната местност е . Времето, за което автомобилът се е движил от А до В в планинската и в равнинната местност, е съответно и . Тогава времето , за което автомобилът се е движил от А до В, е . Аналогично се пресмята и времето , за което автомобилът се е движил от до - . Тъй като с или получаваме равенството и уравнението . От тук получаваме и . Тъй като целият път от до е , то пътят от до е . Времето, за което автомобилът е изминал пътя в планинския участък и в двете посоки, е ; или .
Задача 2. а) Означаваме . Тогава (черт.а). От получаваме и . Тогава ъглите на ∆LBC са: . Ъглите на ∆ALC са: , а . Нека и . Тогава е катет в правоъгълния ∆LL1C и лежи срещу ъгъл от . Оттук следва, че . Тъй като е катет в правоъгълния ∆LBC, а е хипотенуза, то . В равнобедрения ∆ALC и оттук следва, че .
б). Означаваме (черт.б). Тъй като е външен ъгъл за ∆ALC получаваме . Тъй като . (От следва, че , ). От е ъглополовяща на следва (черт в). Тъй като , то . Тогава , т.е. правата е ъглополовяща на за ∆ABC. Построяваме върху противоположния лъч на . Тогава , тъй като по условие , то следва, че , т.е. ∆APB1 е равнобедрен. Означаваме . Тогава . От ∆PBC ∆PB1C ( , и е обща страна) следва, че . Но , тъй като е външен ъгъл за ∆ABC. Тогава или или , ; . Тогава . За да съществува , е достатъчно да бъде изпълнено, че , което е еквивалентно на . За да съществува , е достатъчно да бъде изпълнено, че , което винаги е изпълнено. Следователно задачата има решение , ако .










Черт. а Черт.б






Черт.в




















МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА


УТВЪРЖДАВАМ
ДОЦ. Д-Р ИГОР ДАМЯНОВ
МИНИСТЪР
Вариант №1



ДО ПРЕДСЕДАТЕЛЯ НА
ИЗПИТНАТА КОМИСИЯ
ГР. . . . . . . . . . . . . .



У К А З А Н И Е
за оценяване на писмените работи от изпита по математика за прием на ученици в осми клас на държавни и на общински училища
23 юни 2005 година

Крайната оценка на всяка писмена работа се определя по формулата:
Оц= 2 + 0,25 , където е броят на получените точки.

Разпределение на точките:


Задача 1.
а) – разкриване на скобите ; ;
; съответно по 0,25 = 1,00
- извършване на приведение 1,00
- решаване на неравенството 0,75
- пресмятане на 0,75
- определяне, че е решение на неравенството 0,50

б) - въвеждане на неизвестно - 0,25
- изразяване на пътя в планинската местност и на пътя в равнинната
местност – съответно по 0,25 = 0,50
- изразяване времето за движение от до (в планинската местност
и в равнината местност съответно по 0,25 ) 0,50
-изразяване времето за движение от до ( в планинската местност
и в равнината местност съответно по 0,25 ) 0,50
-съставяне на математическия модел 0,75
- решаване на уравнението 0,75
- определяне на дължината на пътя от до 0,25

- намиране на времето за движение в планинската местност 0,50


Задача 2.
а)- съставяне на уравнение за ъглите на ∆ABC 0,50
- намиране на и съответно по 0,25 0,50 - намиране ъглите на ∆ALC 0,50
- намиране ъглите на ∆BCL 0,50
- доказване, че 0,50
- намиране на 0,25
- доказване, че и съответно по 0,50 и 0,25 0,75

- доказване, че 0,50


б) – доказване, че 0,50
- доказване, че е ъглополовяща на външен ъгъл при върха 0,50
- построяване на и е между и 0,25
- доказване, че ( ) 0,25
- доказване, че ∆BPC ∆B1PC 0,25
- доказване, че 0,25 - получаване на 0,25
- намиране на 0,25
- намиране на условия за съществуване на 0,50 намиране на 0,25
- намиране на условия за съществуване на 0,50
- доказване, че 0,25