Ако може да се обадя с малко закъснение, понеже бях почивка последните дни. И защото Илиан изказа съмнения по-горе, а аз съм длъжен да си призная за някои неточности:

Неточността в моя постинг беше в думите ми че в моделите с атоми, атомите са множества и .. дрън, дрън. Което е невярно. В моделите с атоми, въпросните атоми а1, а2, .. не се смятат за множества, в смисъл нямаме право да употребяваме записи като P(a1) или X<a1 и т.н. Тези атоми се наричат още пра-елементи и единствено можем да ги поместваме в други множества (т.е. да ги слагаме в някоя кошница :)

Например, в ежедневната математика говорим за множествато N={0,1,..} от натуралните числа, или за обичайната топология за реалните числа R. И в двата случая се има в предвид модели с атоми: атомите на множеството N са натуралните числа 0,1,.., а за топологията R атомите са всички реални числа.

---
Когато казах, че с класическия модел може да се постигне всичко, това е вярно. Друг е въпроса, че в ежедневната математика се използват масово модели с атоми, понеже е по-просто: никой няма нерви да си играе на дребно с класическата теория на множествата. Отбележете, че това (атомите) не внася нищо ново, а е само съкращение -- за по-лесно, и да не се затруднява читателя с детайли.

---
Дали всичко може да се построи от класическия модел?
----------------------------------------------------------------------------------------

(1) Kакто e говорeно тука, натуралните числа могат да се моделират по фон Нейман чрез множествата: 0={}, 1 ={0}={{}}, 2 = {0,1}={{}{{}}}, 3={0,1,2}={{}{{}}{{}{{}}}}, 4={0,1,2,3}=... Така, че стандартния модел ни е достатъчеен за да работим с натурални числа, т.е. не ни е нужно да въвеждаме 0,1,2,3,... като атоми.

(2) След като сме дефинирали натуралните числа N, може да дефинираме целите Z, като кодираме полужителните n чрез двойката {0, n}, а отрицателните -n чрез двойката {1, n}. Алтернативно, можем да кодираме полужителните чрез натурални четни нчисла +z=(2n)/2 и отрицателните с нечетни натурални числа -z=(2n+1)/2.

(3) После както се прави в алгебрата, от пръстена Z, можем да построим пръстена от рационални числа Q като класове от еквавилентности над множеството от двойки цели числа {p, q}.

(4) После, разбира се, можем да построим реалните числа пак като класове от еквивалентности, над редиците (на Коши) от рационални числа r={q0, q1, q2, ...}.

(5) После, комплексните числа C са множеството двойки реални числа c={r1, r2}.

....... И можем така да продължаваме, като строим векторни пространства, функционални пространства, и т.н.

---
Тази информация е известна отдавна, и на никого не е толкова нужна; тя касае повече хората изкушени в логиката; добре е да се знае все пак.

Иначе в ежедневната математика се работи директно с множества от реални или комплесни числа; или 3-мерни реални векторни простанства чиито носител е множеството от наредени тройки реални числа.
... И т.н., в смисъл че, в реалния живот никой не си играе на дребно с 0={}, 1={{}}, 2={{}{{}}}, ...